◆ 通過計算，運用勾股定理尋求線線垂直
1 如圖1，在正方體中，為的中點，ac交bd於點o，求證：平面mbd．
證明：鏈結mo，，∵db⊥，db⊥ac，，
∴db⊥平面，而平面∴db⊥．
設正方體稜長為，則，．
在rt△中，．∵，∴． ∵om∩db=o，∴⊥平面mbd．
評注：在證明垂直關係時，有時可以利用稜長、角度大小等資料，通過計算來證明．
◆ 利用面面垂直尋求線面垂直
2 如圖2，是△abc所在平面外的一點，且pa⊥平面abc，平面pac⊥平面pbc．求證：bc⊥平面pac．
證明：在平面pac內作ad⊥pc交pc於d．
因為平面pac⊥平面pbc，且兩平面交於pc，
平面pac，且ad⊥pc， 由麵麵垂直的性質，得ad⊥平面pbc． 又∵平面pbc，∴ad⊥bc．
∵pa⊥平面abc，平面abc，∴pa⊥bc．
∵ad∩pa=a，∴bc⊥平面pac．
（另外還可證bc分別與相交直線ad，ac垂直，從而得到bc⊥平面pac）．
評注：已知條件是線面垂直和麵麵垂直，要證明兩條直線垂直，應將兩條直線中的一條納入乙個平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直．在空間圖形中，高一級的垂直關係中蘊含著低一級的垂直關係，通過本題可以看到，面面垂直線面垂直線線垂直．
一般來說，線線垂直或麵麵垂直都可轉化為線面垂直來分析解決，其關係為：線線垂直線面垂直面面垂直．這三者之間的關係非常密切，可以互相轉化，從前面推出後面是判定定理，而從後面推出前面是性質定理．同學們應當學會靈活應用這些定理證明問題．下面舉例說明．
3 如圖１所示，abcd為正方形，⊥平面abcd，過且垂直於的平面分別交於．求證：，．
證明：∵平面abcd，
∴．∵，∴平面sab．又∵平面sab，∴．∵平面aefg，∴．∴平面sbc．∴．同理可證．
評注：本題欲證線線垂直，可轉化為證線面垂直，**線垂直與線面垂直的轉化中，平面起到了關鍵作用，同學們應多注意考慮線和線所在平面的特徵，從而順利實現證明所需要的轉化．
4 如圖２，在三稜錐ａ－bcd中，bc＝ac，ad＝bd，
作be⊥cd，ｅ為垂足，作ah⊥be於ｈ．求證：ah⊥平面bcd．
證明：取ab的中點ｆ，鏈結cf，df．
∵，∴．
又，∴平面cdf．
∵平面cdf，∴．
又，，∴平面abe，．
∴平面bcd．
評注：本題在運用判定定理證明線面垂直時，將問題轉化為證明線線垂直；而證明線線垂直時，又轉化為證明線面垂直．如此反覆，直到證得結論．
5 如圖３，是圓ｏ的直徑，ｃ是圓周上一點，平面abc．若ae⊥pc ，ｅ為垂足，ｆ是pb上任意一點，求證：平面aef⊥平面pbc．
證明：∵ab是圓ｏ的直徑，∴．
∵平面abc，平面abc，
∴．∴平面apc．
∵平面pbc，
∴平面apc⊥平面pbc．
∵ae⊥pc，平面apc∩平面pbc＝pc，
∴ae⊥平面pbc．
∵平面aef，∴平面aef⊥平面pbc．
評注：證明兩個平面垂直時，一般可先從現有的直線中尋找平面的垂線，即證線面垂直，而證線面垂直則需從已知條件出發尋找線線垂直的關係．
6. 空間四邊形abcd中，若ab⊥cd，bc⊥ad，求證：ac⊥bd
證明：過a作ao⊥平面bcd於o
同理bc⊥do ∴o為△abc的垂心
7. 證明：在正方體abcd－a1b1c1d1中，a1c⊥平面bc1d
證明：鏈結ac
ac為a1c在平面ac上的射影
8. 如圖，平面abcd，abcd是矩形，m、n分別是ab、pc的中點，求證：
. 證：取pd中點e，則
9如圖在δabc中， ad⊥bc， ed=2ae， 過e作fg∥bc， 且將δafg沿fg折起，使∠a'ed=60°，求證:a'e⊥平面a'bc
分析： 弄清摺疊前後，圖形中各元素之間的數量關係和位置關係。
解： ∵fg∥bc，ad⊥bc
∴a'e⊥fg
∴a'e⊥bc
設a'e=a，則ed=2a
由餘弦定理得：
a'd2=a'e2+ed2-2a'eedcos60°
=3a2
∴ed2=a'd2+a'e2
∴a'd⊥a'e
∴a'e⊥平面a'bc
10如圖, 在空間四邊形sabc中, sa平面abc, abc = 90, ansb於n, amsc於m。求證: ①anbc; ②sc平面anm
分析: ①要證anbc, 轉證, bc平面sab。
②要證sc平面anm, 轉證, sc垂直於平面anm內的兩條相交直線, 即證scam, scan。要證scan, 轉證an平面sbc, 就可以了。
證明: ①∵sa平面abc
sabc
又∵bcab, 且absa = a
∴bc平面sab
∵an平面sab
∴anbc
anbc, ansb, 且sbbc = b
∴an平面sbc
∵scc平面sbc
∴ansc
又∵amsc, 且aman = a
∴sc平面anm
11已知如圖，p平面abc，pa=pb=pc，∠apb=∠apc=60°，∠bpc=90 °求證：平面abc⊥平面pbc
分析：要證明面面垂直，只要在其呈平面內找一條線，然後證明直線與另一平面垂直即可。顯然bc中點d，證明ad垂直平pbc即可
證明：取bc中點d 鏈結ad、pd ∵pa=pb；∠apb=60pab為正三角形
同理δpac為正三角形設pa=a 在rtδbpc中，pb=pc=a
bc=apd=a 在δabc中 ad=
=a∵ad2+pd2= =a2=ap2∴δapd為直角三角形即ad⊥dp又∵ad⊥bc
∴ad⊥平面pbc
∴平面abc⊥平面pbc
12. 如圖，直角bac在外，，，求證：在**影為直角。
證：如圖所示，、
為射影確定平面
13 以ab為直徑的圓在平面內，於a，c在圓上，連pb、pc過a作ae⊥pb於e，af⊥pc於f，試判斷圖中還有幾組線面垂直。
解：面aef
線面垂直的證明中的找線技巧
評注 本題欲證線線垂直，可轉化為證線面垂直，線垂直與線面垂直的轉化中，平面起到了關鍵作用，同學們應多注意考慮線和線所在平面的特徵，從而順利實現證明所需要的轉化 4 如圖 在三稜錐 bcd中，bc ac，ad bd，作be cd，為垂足，作ah be於 求證 ah 平面bcd 證明 取ab的中點 鏈結...
線面平行的證明中的找線技巧
1.已知直線 平面，直線 平面，平面平面 求證 分析 利用公理4，尋求一條直線分別與a，b均平行，從而達到a b的目的 可借用已知條件中的a 及a 來實現 證明 經過作兩個平面和，與平面和分別相交於直線和，平面，平面，又 平面，平面，平面，又平面，平面 平面 又 所以，2 已知 空間四邊形中，分別是...
用空間向量證明線線垂直與線面垂直
一 空間向量及其數量積 1 在空間，既有大小又有方向的量稱為空間向量。用或表示，其中向量的大小稱為向量的長度或模，記為或。正如平面向量可用座標 x,y.表示，空間向量也可用座標 x,y,z 表示。若已知點a座標為 x1，y1，z1 點b座標為 x2，y2，z2 則向量 x2 x1，y2 y1，z2 ...