評注:本題欲證線線垂直,可轉化為證線面垂直,**線垂直與線面垂直的轉化中,平面起到了關鍵作用,同學們應多注意考慮線和線所在平面的特徵,從而順利實現證明所需要的轉化.
4 如圖2,在三稜錐a-bcd中,bc=ac,ad=bd,
作be⊥cd,e為垂足,作ah⊥be於h.求證:ah⊥平面bcd.
證明:取ab的中點f,鏈結cf,df.
∵,∴.
又,∴平面cdf.
∵平面cdf,∴.
又,,∴平面abe,.
∴平面bcd.
評注:本題在運用判定定理證明線面垂直時,將問題轉化為證明線線垂直;而證明線線垂直時,又轉化為證明線面垂直.如此反覆,直到證得結論.
5 如圖3,是圓o的直徑,c是圓周上一點,平面abc.若ae⊥pc ,e為垂足,f是pb上任意一點,求證:平面aef⊥平面pbc.
證明:∵ab是圓o的直徑,∴.
∵平面abc,平面abc,
∴.∴平面apc.
∵平面pbc,
∴平面apc⊥平面pbc.
∵ae⊥pc,平面apc∩平面pbc=pc,
∴ae⊥平面pbc.
∵平面aef,∴平面aef⊥平面pbc.
評注:證明兩個平面垂直時,一般可先從現有的直線中尋找平面的垂線,即證線面垂直,而證線面垂直則需從已知條件出發尋找線線垂直的關係.
6. 空間四邊形abcd中,若ab⊥cd,bc⊥ad,求證:ac⊥bd
證明:過a作ao⊥平面bcd於o
同理bc⊥do ∴o為△abc的垂心
7. 證明:在正方體abcd-a1b1c1d1中,a1c⊥平面bc1d
證明:鏈結ac
ac為a1c在平面ac上的射影
8. 如圖,平面abcd,abcd是矩形,m、n分別是ab、pc的中點,求證:
. 證:取pd中點e,則
9如圖在δabc中, ad⊥bc, ed=2ae, 過e作fg∥bc, 且將δafg沿fg折起,使∠a'ed=60°,求證:a'e⊥平面a'bc
分析: 弄清摺疊前後,圖形中各元素之間的數量關係和位置關係。
解: ∵fg∥bc,ad⊥bc
∴a'e⊥fg
∴a'e⊥bc
設a'e=a,則ed=2a
由餘弦定理得:
a'd2=a'e2+ed2-2a'eedcos60°
=3a2
∴ed2=a'd2+a'e2
∴a'd⊥a'e
∴a'e⊥平面a'bc
10如圖, 在空間四邊形sabc中, sa平面abc, abc = 90, ansb於n, amsc於m。求證: ①anbc; ②sc平面anm
分析: ①要證anbc, 轉證, bc平面sab。
②要證sc平面anm, 轉證, sc垂直於平面anm內的兩條相交直線, 即證scam, scan。要證scan, 轉證an平面sbc, 就可以了。
證明: ①∵sa平面abc
sabc
又∵bcab, 且absa = a
∴bc平面sab
∵an平面sab
∴anbc
anbc, ansb, 且sbbc = b
∴an平面sbc
∵scc平面sbc
∴ansc
又∵amsc, 且aman = a
∴sc平面anm
11已知如圖,p平面abc,pa=pb=pc,∠apb=∠apc=60°,∠bpc=90 °求證:平面abc⊥平面pbc
分析:要證明面面垂直,只要在其呈平面內找一條線,然後證明直線與另一平面垂直即可。顯然bc中點d,證明ad垂直平pbc即可
證明:取bc中點d 鏈結ad、pd ∵pa=pb;∠apb=60pab為正三角形
同理δpac為正三角形設pa=a 在rtδbpc中,pb=pc=a
bc=apd=a 在δabc中 ad=
=a∵ad2+pd2= =a2=ap2∴δapd為直角三角形即ad⊥dp又∵ad⊥bc
∴ad⊥平面pbc
∴平面abc⊥平面pbc
12. 如圖,直角bac在外,,,求證:在**影為直角。
證:如圖所示,、
為射影確定平面
13 以ab為直徑的圓在平面內,於a,c在圓上,連pb、pc過a作ae⊥pb於e,af⊥pc於f,試判斷圖中還有幾組線面垂直。
解:面aef
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