1.已知直線∥平面，直線∥平面，平面平面=，求證．
分析： 利用公理4，尋求一條直線分別與a，b均平行，從而達到a∥b的目的．可借用已知條件中的a∥α及a∥β來實現．
證明：經過作兩個平面和，與平面和分別相交於直線和，
∵∥平面，∥平面，
∴∥，∥，∴∥，
又∵平面，平面，
∴∥平面，
又平面，平面∩平面=，∴∥，又∵∥，所以，∥．
2．已知：空間四邊形中，分別是的中點，求證：．
證明：鏈結，在中，
∵分別是的中點，
∴，，，
∴．3、已知：空間四邊形abcd中,e、f分別是ab、ad的中點.求證:ef∥平面bcd。
證明：鏈結bd，在△abd中，
∵e、f分別是ab、ad的中點
∴ ef∥bd
又 ef平面bcd，bd平面bcd，
∴ef∥平面bcd（直線和平面平行判定定理）
4 正方形abcd與正方形abef所在平面相交於ab，在ae、bd上各有一點p、q，且ap=dq.求證：pq∥面bce.
證法一：如圖9-3-4（1），作pm∥ab交be於m，作qn∥ab交bc於n,連線mn,因為面abcd∩面abef=ab,則ae=db.
又∵ap=dq,∴pe=qb.
又∵pm∥ab∥qn,
∴,.∴.
∴pm∥qn.即四邊形pmnq為平行四邊形.
∴pq∥mn.
又∵mn面bce，pq面bce，∴pq∥面bce.
證法二：如圖9-3-4(2)，鏈結aq並延長交bc或bc的延長線於點k，鏈結ek.
∵ad∥bc,∴.
又∵正方形abcd與正方形abef有公共邊ab，且ap=dq，
∴.則pq∥ek.
∴ek面bce，pq面bce.∴pq∥面bce.
點撥：證明直線和平面平行的方法有：①利用定義採用反證法；②判定定理；③利用面面平行，證線面平行.
其中主要方法是②、③兩法，在使用判定定理時關鍵是確定出面內的與麵外直線平行的直線.
5 已知：如圖9-3-6，面α1∩面α2=b,a∥面α1,a∥面α2.
求證：a∥b.
證法一：過直線a作兩個平面β1和β2，使得平面β1∩平面β1=c，面β2∩面α2=d.
∵a∥面α1，a∥面α2，∴a∥c，a∥d.
∴c∥d.∵d面α2,c面α2.
∴c∥面α2.
又∵c面α1，面α1∩面α2=b，
∴c∥b.∴a∥b.
證法二：經過a作一平面π，使得平面π∩面α1=k，面π∩面α2=l.
∵a∥面α1，a∥面α2,
∴a∥k，a∥l，則k∥l∥a.
∵三個平面α1、α2、π兩兩相交，交線分別為k、l、b且k∥l，
∴k∥l∥b，則a∥b.
證法三：在b上任取一點a，過a和直線a作平面和平面α1相交於l1，和平面α2相交於直線l2.
∵a∥面α1,a∥面α2,
∴a∥l1,a∥l2.
∵過一點只能作一條直線與另一直線平行，
∴l1與l2重合.
又∵l1面α1，l2面α2，
∴l1與l2重合於b.
∴a∥b.
點撥:證明直線與直線平行,有下列方法:(1)若a,b面α,且a∩b=○,則a∥b；(2)若α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c且a∥b∥c；(3)若a∥b,b∥c,則a∥c；(4)若a∥α；aβ,α∩β=b,則a∥b.
6.p是平行四邊形abcd所在平面外一點,q是pa的中點.求證：pc∥面bdq.
.證明：如答圖9-3-2，鏈結ac交bd於點o.
∵abcd是平行四邊形，∴ao=oc.鏈結oq，則oq在平面bdq內，且oq是△apc的中位線，∴pc∥oq.
∵pc在平面bdq外，∴pc∥平面bdq.
7.在稜長為a的正方體abcd－a1b1c1d1中，設m、n、e、f分別是稜a1b1、a1d1、c1d1、b1c1的中點.求證：
(1)e、f、b、d四點共面；（2）面amn∥面efbd.
.證明:(1)分別鏈結b1d1、ed、fb，如答圖9-3-3，
則由正方體性質得
b1d1∥bd.
∵e、f分別是d1c1和b1c1的中點，
∴ef∥b1d1.
∴ef∥bd.
∴e、f、b、d對共面.
（2）鏈結a1c1交mn於p點，交ef於點q，鏈結ac交bd於點o，分別鏈結pa、qo.
∵m、n為a1b1、a1d1的中點，
∴mn∥ef，ef面efbd.
∴mn∥面efbd.
∵pq∥ao,
∴四邊形paoq為平行四邊形.
∴pa∥oq.
而oq平面efbd，
∴pa∥面efbd.
且pa∩mn=p，pa、mn面amn，
∴平面amn∥平面efbd.
8 ，線段gh、gd、he交、於a、b、c、d、e、f，若ga=9，ab=12，bh=16，，求。
證明：ac∥bd ae∥bf
∴9 正方形abcd交正方形abef於ab（如圖所示）m、n在對角線ac、fb上且am= fn。求證：mn //平面bce
證：過n作np//ab交be於p，過m作mq//ab交bc於q
又 ∵ mqpn
10. p為 abcd所在平面外一點，，，且求證：
. 證：連bf交cd於h，連ph ab//cd
在中∴ 11三個平面兩兩相交得三條直線，求證：這三條直線相交於同一點或兩兩平行.
已知：平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c.
求證：a、b、c相交於同一點，或a∥b∥c.
證明：∵α∩β＝a，β∩γ＝b
∴a、bβ
∴a、b相交或a∥b.
(1)a、b相交時，不妨設a∩b＝p，即p∈a，p∈b
而a、bβ，aα
∴p∈β，p∈α，故p為α和β的公共點
又∵α∩γ＝c
由公理2知p∈c
∴a、b、c都經過點p，即a、b、c三線共點.
(2)當a∥b時
∵α∩γ＝c且aα，aγ
∴a∥c且a∥b
∴a∥b∥c
故a、b、c兩兩平行.
12如圖，正方體abcd—a1b1c1d1中，e在ab1上，f在bd上，且b1e＝bf.
求證：ef∥平面bb1c1c.
證法一：連af延長交bc於m，鏈結b1m.
∵ad∥bc
∴△afd∽△mfb
∴又∵bd＝b1a，b1e＝bf
∴df＝ae
∴∴ef∥b1m，b1m平面bb1c1c
∴ef∥平面bb1c1c.
證法二：作fh∥ad交ab於h，鏈結he
∵ad∥bc
∴fh∥bc，bcbb1c1c
∴fh∥平面bb1c1c
由fh∥ad可得
又bf＝b1e，bd＝ab1
∴∴eh∥b1b，b1b平面bb1c1c
∴eh∥平面bb1c1c，
eh∩fh＝h
∴平面fhe∥平面bb1c1c
ef平面fhe
∴ef∥平面bb1c1c
說明：證法一用了證線面平行，先證線線平行.證法二則是證線面平行，先證麵麵平行，然後說明直線在其中乙個平面內.∴△end的面積為(m+p)2平方單位.
13如圖，在正方體abcd—a1b1c1d1中，點n在bd上，點m在b1c上，並且cm=dn.
求證:mn∥平面aa1b1b.
分析一：本題是把證「線面平行」轉化為證「線線平行」，即在平面abb1a1內找一條直線與mn平行，除上面的證法外，還可以連cn並延長交直線ba於點p，連b1p，就是所找直線，然後再設法證明mn∥b1p.
分析二：要證「線面平行」也可轉化為證「面面平行」，因此，本題也可設法過mn作乙個平面，使此平面與平面abb1a1平行，從而證得mn∥平面abb1a1.
（本題證明請讀者自己完成，本題中對轉化思想的考查值得我們認真思考.）
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