一．知識導學
本節是以乙個公理作為基礎，從而推出兩個定理。
公理：同位角相等，兩直線平行。
定理：同旁內角互補，兩直線平行。
定理：內錯角相等，兩直線平行。
以上定理說明，在現階段，我們證明兩條直線平行的方法有三種。
二、例題：
例1．已知如圖，指出下列推理中的錯誤，並加以改正。
（1）∵∠1和∠2是內錯角，∴∠1=∠2，
（2）∵∠1=∠2，∴ab//cd（兩直線平行，內錯角相等）
分析：根據「三線八角」的概念，對（1），（2）可從內錯角的條件入手。
解：（1）因為沒有直線cd//ab的條件，不能得出內錯角∠1，∠2相等的結論。
（2）理由填錯了，應改為：
∵∠１＝∠2，∴cd//ab （內錯角相等，兩直線平行）
例2．如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，試問ef是否與gh平行？
分析：要判斷ef與gh是否平行，只要能找到與ef，gh有關的一對角（同位，內錯，同旁內角都可以）相等或互補即可。
解：∵∠1=∠2（已知） 又∵∠cge=∠2（對頂角相等）
∴∠1=∠cge（等量代換）
又∵∠3=∠4（已知）
∴∠3+∠1=∠4+∠cge（等量加等量，其和相等）
即∠mef=∠egh，
∴ef//gh（同位角相等，兩直線平行）。
說明：本題解答過程就是一種推理過程，每一步因果關係分明。由因導果的依據要在式子後面的括號內寫明了。此題屬於平行線判定型別。
例3．如圖寫出能使ab//cd成立的各種題設。
分析：應先找和ab，cd這二條直線有關的第三條截線所組成的「三線八角」來判定ab//cd。
解：使ab//cd成立的題設有：
（1）根據同位角相等，判定兩直線平行有：∠eab=∠edc，∠fdc=∠fab
（2）根據內錯角相等，判定兩直線平行有：∠3=∠4或∠7=∠8。
（3）根據同旁內角互補，判定兩直線平行有：∠bad+∠adc=180°或∠abc+∠bcd=180°。
例4．已知如圖，ab//cd，∠1=∠3，求證：ac//bd。
分析：因為本題是判定兩條直線平行的，應選用平行線的判定，應從給定的條件中去尋找角的關係，因為ab//cd，所以可知∠1=∠2，又因為∠1=∠3，可推出∠2=∠3，能判定ab與cd平行。
證明：∵ab//cd（已知）
∴∠1=∠2（兩直線平行內錯角相等）
又∵∠1=∠3（已知）
∴∠2=∠3（等量代換）
∴ac//bd（同位角相等，兩直線平行）。
例5．已知如圖∠1=∠2，bd平分∠abc，求證：ab//cd
證明：∵bd平分∠abc（已知）
∴∠2=∠3（角平分線定義）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠1=∠3（等量代換）
∴ab//cd（內錯角相等兩直線平行）。
例6．如圖，已知直線a,b,c被直線d所截，若∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求證：a∥c
分析：運用綜合法，證明此題的思路是由已知角的關係推證出兩直線平行，然後再由兩直線平行解決其它角的關係。∠1與∠7是直線a和c被d所截得的同位角。須證a//c。
法（一）證明：
∵d是直線（已知）
∴∠1+∠4=180°（平角定義）
∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）
∴∠3=∠4（等角的補角相等）
∴a//c（同位角相等，兩直線平行）
法（二）證明：
∵∠2+∠3=180°，∠1=∠2（已知）
∴∠1+∠3=180°（等量代換）
∵∠5=∠1，∠6=∠3（對頂角相等）
∴∠5+∠6=180°（等量代換）
∴a//c（同旁內角互補，兩直線平行）
說明：從以上幾例我們可以發現，證明兩條直線平行，必須緊扣兩直線平行的條件，往往歸結於求證有關兩個角相等，根據圖形找出兩直線的同位角、內錯角或同旁內角，設法證明這一組同位角或內錯角相等，或同旁內角互補。
易錯分析
1．兩條直線平行是兩條直線的第二種位置關係，它的定義是用兩條直線不相交來定義的。但在空間兩條不相交的直線不一定平行，如圖中的ab和cd既不相交也不平行，所以平行線的定義中必須說「在同一平面內」這個條件。
2．平行公理是幾何學中的乙個重要公理，這個公理是說明，經過直線外一點作直線，可以存在一條直線與已知直線平行，並且只有唯一的一條直線與已知直線平行。這是研究平行線的判定和性質的基礎，應該熟練地掌握。例如由平行線的公理推出了乙個結論「平行於同一直線的兩直線平行」也是平行的乙個判定方法。
在學習平行線性質時也要用平行公理來推導。由於經過直線外一點作平行線的「存在性」和「唯一性」,因而解決了平行線作圖的可行性和確定性。
3．平行線的判定和平行線的性質要區分開。
平行線的判定講的是兩條直線具備什麼條件時，它們互相平行，起的是判定作用。
平行線的性質講的是已知兩條直線在互相平行的前提下，圖形會具備什麼性質。
懂得了如何應用，就可以分清它們的區別。做到對判定及性質:①會文字敘述；②會畫圖形；③會用數學式子表示；④會用來作題；⑤知道平行線的性質公理和判定公理是互逆的。
例如平行線判定（1）
（1）文字敘述：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那麼兩直線平行。
（2）畫出圖形（如圖）
（3）幾何語言：
∵直線ab，cd被ef所截（已知）
∠emb=∠end（已知）
∴ ab//cd（同位角相等，兩直線平行）
（4）會用：當知道了兩個同位角相等。就可以判定兩條直線是平行的。
又如平行線的性質（1）
（1）文字敘述：兩條直線被第三條直線所截，如果兩直線平行，那麼同位角相等。
（2）畫出圖形（如圖）
（3）幾何語言表示：
∵直線ab，cd被ef所截，
ab//cd （已知）
∴∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）
4. 利用平行線的性質和判定定理證題時，應注意不要出現下列錯誤：
1．不管有無兩直線平行的條件，見到同位角，內錯角，就說它們相等，同旁內角互補；
2．分不清內錯角是哪兩條直線被第三條直線所截得的，結果導致判斷錯誤；
3．分不清哪個是性質定理，哪個是判定定理，造成盲目的下結論，亂填理由。
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