專題立體幾何中的平行類（線面平行、面面平行）證明
型別一、直線與平面平行的判定（判定一條直線和乙個平面平行，一般利用線面平行的判定定理，或者轉化為經過這條直線的平面和這個平面平行.）
1、判定定理：符號語言
利用判定定理：關鍵是找平面內與已知直線平行的直線。可先直觀判斷平面內是否已有，若沒有，則需作出該直線，常考慮三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線。
2、利用面面平行的性質定理：當兩平面平行時，其中乙個平面內的任一直線平行於另一平面。
型別二、平面與平面平行的判定
1、面面平行的定義：如果兩個平面沒有公共點，那麼這兩個平面互相平行．
2、平行平面的判定定理：如果乙個平面內有兩條相交直線分別平行於另乙個平面，那麼這兩個平面互相平行．
3、符號語言：
4、判定平面與平面平行的常用方法：
①利用判定定理：轉化為判定乙個平面內的兩條相交直線分別平行於另乙個平面。客觀題中，也可直接利用乙個平面內的兩條相交線分別平行於另乙個平面的兩條相交線來證明兩平面平行；
②利用面面平行的傳遞性：
例1、如圖所示，已知p、q是單位正方體abcd-a1b1c1d1的面a1b1ba和麵abcd的中心。
證明：pq//平面bcc1b1
【證明】方法一：如圖，取b1b中點e,bc中點f，連線pe、qf、ef，
因為在三角形a1b1b中，p、e分別是a1b和b1b的中點，
所以pea1b1，
同理，qfab，
又因為a1b1ab,所以peqf
所以四邊形pefq是平行四邊形，所以pq//ef.
又pq平面bcc1b1，ef平面bcc1b1，所以pq//平面bcc1b1.
方法二：如圖，取ab的中點e,連線pe,qe,因為p是a1b的中點，
所以pe//a1a,有a1a//bb1,
所以pe//bb1
又pe平面bcc1b1,bb1平面bcc1b1，同理qe//平面bcc1b1，
有pe、qe平面pqe,peqe=e,
所以平面pqe//平面bbc1b1，又pq平面pqe,所以pq//平面bcc1b1.
例2． 如圖所示，在底面是平行四邊形的四稜錐p－abcd中，點e在pd上，且pe∶ed＝2∶1，在稜pc上是否存在一點f，使bf∥平面aec？並證明你的結論．
解當f是稜pc的中點時，bf∥平面aec，證明如下：
取pe的中點m，連線fm，
則fm∥ce，①
由em＝pe＝ed，知e是md的中點，設bd∩ac＝o，則o為bd的中點，連線oe，則bm∥oe，②
由①②可知，平面bfm∥平面aec，又bf 平面bfm，∴bf∥平面ae
例3.如圖，已知正方形的邊長是13，平面外一點到正方形各頂點的距離都為13，分別是上的點，且，
（1）求證：//平面；
（2）求線段的長。
解：連an並延長和bc交於e點，則en：na=bn：nd
（1）證明：而平面，平面
平面（2）解：由餘弦定理可得：
例4.如圖，矩形abcd和梯形befc有公共邊bc，be//cf，∠bcf=900，求證：ae//平面dcf
【解析】過點e作eg⊥cf交cf於g，連線dg，可得四邊形bcge為矩形。
又abcd為矩形，所以adeg，從而四邊形adgf為平行四邊形，故ae//dg。因為ae平面dcf，dg平面dcf，所以ae//平面dcf
【點評】作eg⊥cf於gadegae//dgae//平面dcf
例5、如下圖，在正方體abcd—a1b1c1d1中，m、o分別是a1b、ac的中點．求證：om∥平面bb1c1c.
【證明】 方法1：連線ab1，b1c，如右圖．
因為m是ab1的中點，o是ac的中點，所以mo∥b1c.
又mo平面bb1c1c，b1c平面bb1c1c，
所以om∥平面bb1c1c.
方法2：取ab的中點n，連線mn、on，如圖，則mn∥bb1.
又mn平面bb1c1c，bb1平面bb1c1c，
所以mn∥平面bb1c1c.
同理可得on∥平面bb1c1c.
又mn∩on＝n，所以平面mon∥平面bb1c1c.
而om平面mon，所以om∥平面bb1c1c.
例6.正方形abcd與正方形abef所在平面相交於ab，在ae、bd上各有一點p、q，且ap=dq.
求證：pq∥平面bce.
【證明】方法一如圖所示，作pm∥ab交be於m，作qn∥ab交bc於n，連線mn.
∵正方形abcd和正方形abef有公共邊ab，∴ae=bd.
又∵ap=dq，∴pe=qb，
又∵pm∥ab∥qn，
∴，，，∴pm qn，
∴四邊形pmnq為平行四邊形，∴pq∥mn.
又mn平面bce，pq平面bce，
∴pq∥平面bce.
方法二如圖所示，連線aq，並延長交bc於k，連線ek，
∵ae=bd，ap=dq，
∴pe=bq，
又∵ad∥bk
由①②得=，∴pq∥ek.
又pq平面bce，ek平面bce，
∴pq∥平面bce.
方法三如圖所示，在平面abef內，過點p作pm∥be，交ab於點m，
連線qm.
∵pm∥be，pm平面bce，
即pm∥平面bce，
又∵ap=dq，∴pe=bq，
由①②得=，∴mq∥ad，
∴mq∥bc，又∵mq平面bce，∴mq∥平面bce.
又∵pm∩mq=m，∴平面pmq∥平面bce，
pq平面pmq，∴pq∥平面bce.
例7、已知四稜錐p－abcd的三檢視如下．
(1)求四稜錐p－abcd的體積；
(2)若e是側稜pc的中點，求證：pa∥平面bde；
(3)若e是側稜pc上的動點，不論點e在何位置，是否都有bd⊥ae？證明你的結論．
【解析】 (1)由該四稜錐的三檢視可知，該四稜錐p－abcd的底面是邊長為1的正方形，側稜pc⊥底面abcd，且pc＝2，∴vp－abcd＝sabcd·pc＝
(2)鏈結ac交bd於f，則f為ac的中點，
∵e為pc的中點，
∴pa∥ef，又pa 平面bde內，
∴pa∥平面bde
(3)不論點e在何位置，都有bd⊥ae
證明：鏈結ac，∵abcd是正方形，∴bd⊥ac
∵pc⊥底面abcd且bd平面abcd，∴bd⊥pc
又ac∩pc＝c，∴bd⊥平面pac，
∵不論點e在何位置，都有ae平面pac
∴不論點e在何位置，都有bd⊥ae
例8、已知直三稜柱的所有稜長都相等，且分別為的中點.
(i) 求證：平面平面；
（ii）求證：平面.
【證明】（ⅰ）由已知可得，，
四邊形是平行四邊形，
平面， 平面，
平面；又分別是的中點，
平面， 平面，
平面；平面，平面，
平面∥平面.
(ⅱ) 三稜柱是直三稜柱，
面，又面，
又直三稜柱的所有稜長都相等，是邊中點，
是正三角形
而，面，面，面故
四邊形是菱形
而，故 由麵，面，
得面例9、正方體abcd－a1b1c1d1中，m、n、e、f分別是稜a1b1、a1d1、b1c1、c1d1中點．
(1) 求證：平面amn∥平面efdb；
(2) 求異面直線am、bd所成角的余弦值．
【解析】(1) 易證ef∥b1d1 mn∥b1d1 ∴ef∥mn
an∥be 又mn∩an＝n ef∩be＝e
∴面amn∥面efdb
(2) 易證mn∥bd ∴∠amn為am與bd所成角
易求得 cos∠amn＝
【點評】本題直接利用乙個平面內的兩條相交線分別平行於另乙個平面的兩條相交線來證明兩平面平行。
例10.如圖所示，在正方體abcd—a1b1c1d1中，o為底面abcd的中心，p是dd1的中點，設q是cc1上的點，問：當點q在什麼位置時，平面d1bq∥平面pao？
【解析】當q為cc1的中點時，
平面d1bq∥平面pao.
∵q為cc1的中點，p為dd1的中點，∴qb∥pa.
∵p、o為dd1、db的中點，∴d1b∥po.
又po∩pa=p，d1b∩qb=b，
d1b∥平面pao，qb∥平面pao，
∴平面d1bq∥平面pao.
例11、如圖所示，正方體中，分別是的中點，為上一點，且，，求證：平面//平面．
證明：設ef∩bd＝h，在△dd1h中，
，∴go//d1h，
又go平面d1ef，d1h平面d1ef，
∴go//平面d1ef，
在△bao中，be＝ef，bh＝ho， ∴eh//ao
ao平面d1ef，eh平面d1ef， ∴ao//平面d1ef，
ao∩go＝o，∴平面ago//平面d1ef.
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