空間直線
1. 空間兩條直線的三種位置關係—相交、平行、異面.
2. 公理4 平行於同一直線的兩條直線互相平行.
定理：如果乙個角的兩邊和另乙個角的兩邊分別平行並且方向相同，那麼這兩個角相等.
推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那麼這兩組直線所成的銳角（或直角）相等.
3．異面直線所成的角
直線a，b是異面直線，經過空間任意一點o，分別引直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．
4．異面直線的距離
和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線．
兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離．
[要點內容]
1．空間兩條直線的三種位置關係—相交、平行、異面。相交直線和平行直線都是共面直線，異面直線是立體圖形。
2．空間兩直線的位置關係分類
從有無公共點的角度看，可分為兩類：
（1）兩條直線有且僅有乙個公共點—相交直線；
3．異面直線概念的理解
「不同在任何乙個平面內的兩條直線」，是指這兩條直線不能同時在任何乙個平面內。注意：分別在某兩個平面內的兩條直線，不一定是異面直線，它們可能是相交直線，也可能是平行直線，如圖。
4．異面直線的畫法及判定
畫異面直線時，以平面為襯托，可使兩直線不能共面的特點顯示得更清楚，如圖
判定兩條直線是異面直線的方法：
方法一，利用：「過平面外一點與平面內一點的直線，和平面內不經過該點的直線是異面直線。」
方法二，利用反證法，假設這兩條直線不是異面直線，推導出矛盾。這可能是與公理矛盾、與定理矛盾、與定義矛盾、與已知條件或事實矛盾等。
5．對於兩條異面直線所成的角的定義應注意以下幾點：
（1）取直線a′、b′所成的銳角（或直角）作為異面直線a、b所成的角。
（2）在這個定義中，空間一點是任意選取的，根據等角定理，可以判定異面直線a和b所成的角和a′和b′所成的銳角（或直角）相等，而與點o的位置無關。
（3） 由於異面直線a、b所成的角與點o的位置無關，一般情況下，可將點o取在直線a或b上。
6．求兩條異面直線所成的角，主要方法有（1）平移；（2）補形。
兩條異面直線所成角的範圍是
7．兩條異面直線的公垂線是一條直線，它具有和這兩條異面直線都垂直，並且都相交這樣兩個屬性。對於任意兩條異面直線，它們的公垂線有且只有一條。因此，它們的公垂線段也是存在且唯一的。
這就是說，對於任意兩條異面直線，它們間的距離是唯一確定的。
8．求兩條異面直線的距離，一般可根據它的定義分兩步進行：
（1）確定兩條異面直線的公垂線；（2）計算公垂線段的長度。
[重點] 1．空間直線的三種位置關係
2．兩條異面直線所成角和距離的概念
3．反證法的運用
[難點] 1．反證法的運用
2．求兩條異面直線所成的角
3．計算已經給出公垂線的兩條異面直線的距離
1．空間兩條直線的三種位置關係
注意：異面直線概念的理解：不同在任何乙個平面內，意思是不存在平面 ，使且 。
既不平行，又不相交的兩條直線一定是異面直線。可據此用反證法證明兩條直線為異面直線。
2．平行公理與等角定理
平行公理：平行於同一條直線的兩條直線互相平行。
等角定理：如果乙個角的兩邊和另乙個角的兩邊分別平行並且方向相同，那麼這兩個角相等。
推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那麼這兩組直線所成的銳角（或直角）相等。
注意：在等角定理中強調兩角方向相同。如果乙個角的兩邊與另乙個角的兩邊分別平行，則這兩個角相等或互補。
等角定理和平行公理是我們求解兩條異面直線所成角的理論基礎和重要工具。
3．兩條異面直線所成的角和兩條異面直線間的距離。
由於兩條異面直線不相交，因此表示兩條異面直線的相對位置要引入所成角的概念。在異面直線所成角的定義中，注意：①異面直線所成角的範圍是 ；②空間一點可任意選取，而所成的角不會改變；③為方便起見，一般將點取在一條異面直線上的乙個特殊點上。
兩條異面直線間的距離指兩條異面直線的公垂線段的長度。注意：公垂線與兩條異面直線既要垂直，又要相交。
[例題分析]
第一階梯
[例1]已知：四邊形abcd是空間四邊形（四個頂點不共面的四邊形），e、h分別是邊ab、ad的中點，f、g分別是邊cb、cd上的點，且求證：四邊形efgh是梯形.
證明：連bd
（2）∵cc′∥bb′，
∴ba′和bb′所成的銳角就是ba′和cc′所成的角．
∵=∠a′bb′=45°，
∴ba′和cc′所成的角是45°．
（3）∵ab⊥aa′，ab∩aa′=a，
又∵ab⊥bc，ab∩bc=b，
∴ab是bc和aa′的公垂線段．
∵ab=a，
∴bc和aa′的距離是a．
說明：本題是判定異面直線，求異面直線所成角與距離的綜合題，解題時要注意書寫規範．
[例3]在長方體abcd－a1b1c1d1中，ab=4cm，bc=3cm，b1b=2cm。求：
（1）異面直線a1a與bc的距離；
（2）異面直線a1a與c1d1的距離；
（3）異面直線a1b1與bc的距離．
解：⑴因為abcd－a1b1c1d1是長方體，ab⊥a1a於a，ab⊥bc**．所以ab的長度就是異面直線a1a與bc的距離，因為ab=4cm，所以a1a與bc的距離為4cm．
⑵因為a1d1⊥a1a於a1，a1d1⊥c1d1於d1，a1d1的長度就是異面直線a1a與c1d1的距離，因為a1d1=bc=3cm，所以a1a與c1d1的距離為3cm．
⑶因為b1b⊥a1b1於b1，b1b⊥bc於b．b1b的長度就是異面直線a1b1與bc的距離，因為b1b=2cm，所以a1b1與bc的距離等於2cm．
例4．在正方體abcd-a1b1c1d1中，稜長為1。
（1）m是cd1中點，求ad1與bm所成的角；
（2）m，n，p分別是aa1，cd，bc的中點，求mn與dp所成的角；
（3）求a1c與bc1所成的角。
（4）o是bd1中點，m為aa1中點。證明：mo是aa1和bd1的公垂線，並求aa1和bd1的距離。
解：（1）∵ bc1//ad1，∴ ∠mbc1就是ad1與bm所成角或其補角。鏈結mc1，
在δmc1b中， ，
， 。∴ ，∴ ∠mbc1=30°， ∴ ad1與b m所成的角是30°。
（2）取pc中點q，鏈結ｎｑ，
∴ 在δcdp中，nq是中位線，∴ nq//dp。
∴ ∠mnq就是mn與dp所成角或其補角，鏈結mq，
在δmnq中， ，
。，∵ ，∴ ∠mnq=90°， ∴ mn與dp所成角是90°。
（3）在原正方體的正前方補乙個稜長為1的正方體abc＇d＇-a1b1c1'd1＇
∵ bc1//c＇b1//a1d＇
∴ ∠p＇a1c就是a1c與bc1所成角或其補角，
在δa1d＇c中， ， ，
∴ a1c與bc1所成角是90°。
反思：「補形」的目的是希望平移bc1到合適位置與a1c相交。
（4）鏈結md1，mb。
∵ ，，∴ md1=mb， ∴ δmd1b是等腰三角形，∵ o是d1b中點， ∴ mo⊥d1b，
在δoa1a中，同理可證om⊥aa1。
由異面直線的公垂線定義，om是aa1和bd1的公垂線。
∴ aa1和bd1的距離是om的長即 。
異面直線知識要點提示
公理:若a//b，b//c，則a//c.(*)
等角定理如果乙個角的兩邊和另乙個角的兩邊分別平行且方向相同，那麼這兩個角相等.
推論如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那麼這兩組直線所成的銳角（或直角）相等.
掌握兩條異面直線所成角的概念及其取值範圍：分別和兩條異面直線平行且相交的兩條直線所成的銳角（或直角）叫做異面直線所成的角，它的取值範圍是大於0°小於或等於90°.
異面直線的公垂線和異面直線的距離是兩個重要的概念.要會求兩條異面直線所成的角與距離的大小.但是對於異面直線的距離，只要求會計算已給出公垂線時的距離.
公理(*)是論證平行問題的主要依據.等角定理及其推論是兩條異面直線所成的角的定義的基礎，並為定義兩條異面直線所成的角提供了可能性與唯一性.
兩條異面直線所成的角，是利用平行線將異面直線轉化為相交直線，將異面直線所成的角轉化為平面圖形，體現了研究立體幾何問題的平面化原則.兩條異面直線互相垂直是指兩條異面直線所成的角是直角.不論是相交直線或異面直線互相垂直，都是指它們所成的角是直角.
從另一方面看，說兩條直線互相垂直，它們可能是相交的，也可能異面.
兩條異面直線的公垂線是指和這兩條異面直線都垂直相交的直線，要注意這裡的「垂直」和「相交」兩個條件，並注意它的存在性和唯一性.若不相交，便不會有交點，也就沒有公垂線段，距離也就無從定義了.
6．如圖，aal bb1 cc1，aa1=4, a1b=7. 在δabc中，ab＝bc＝3 ，ac＝6，且ac⊥aal，若d、d1分別是ac、a1c1中點，求異面直線a1d和b1d1所成的角．
分析:平移b1d1至bd，構造δa1bd．
解:如圖所示，鏈結dd1、bd.
∴ d、d1分別是矩形aa1c1c相對兩邊ac、alcl的中點．
∴ dd1 aa1 bb1.∴ 四邊形bb1dld是平行四邊形，則bd//b1d1.
∴ ∠a1db就是異面直線ald與bldl所成的角(或其補角)．
等腰δabc中，bd= =3，rtδa1ad中，a1d= =5，
∴ 在δa1bd中，由餘弦定理得cos∠a1db= ,
∴ ∠a1db=120°,故異面直線ald和bldl所成的角是180°-120°，即60°.
點評:(1)如果求出的角大於90°，那麼異面直線所成的角就等於它的補角．(2)求異面直線所成的角有下列步驟:證平行——「平移」異面直線構成相交直線；說明角——說明某個角就是兩條異面直線所成的角(或補角)；求大小——求出角度(或用這個角的某個三角函式表示)．
直線與平面的平行與垂直
(一)直線與平面平行的判定和性質
一、記清直線與平面平行的判定和性質定理，掌握它的符號表示，這是證明的基礎。欲證線面平行必須找線線平行這是關鍵。
二、 重點：直線與平面的三種位置關係，直線和平面平行的判定和性質。
難點：利用直線與平面平行判定和性質證明有關問題。
（二）直線與平面垂直的判定和性質
一、 重點：線面垂直的定義，判定定理及性質是本節的重點，它是學習線面角、線面距離的關鍵，是推導射影定理、最小角定理以及三垂線定理的基礎。
難點：（1）線面垂直的定義及判定定理的證明是學生最難於理解的內容。要弄清定理證明中新增輔助線的方法及原因，性質定理的證明也是本節的難點之一，注意體會反證明法的證明思路，對於一些否定性命題，常考慮使用反證法；對於一些條件簡單而結論複雜的命題，也可考慮使用反證法。
（2）三垂線正逆定理的應用，一些學生對定理的實質了解不透，受思維定式的影響，只習慣於豎直方向的垂直，而對於空間其它方向上的垂直找不到看不好，從而影響了借用它來證明線線垂直。
一、知識歸納：
1．直線與平面的位置關係
（1）直線在平面內（有無窮多個公共點）
（2）直線與平面平行（無公共點）
（3）直線與平面相交（有且僅有乙個公共點）
2．直線與平面平行的判定與性質：
（1）判定定理：（如圖1）
（2）性質定理：（如圖2）
3．直線與平面垂直的判定與性質
（1）判定定理： ① ②
（2）性質定理：。
例題2.（如圖5）兩個完全相等的正方形abcd和abef不在同一平面內，點m，n分別在它們的對角線ac、bf上，且cm=bn，求證mn//平面bce。
證明1：鏈結an並延長交be於g，鏈結cg，（如圖6），易得δafn∽δgbn，則 =，
由題設cm=bn得am=fn，故：， ∴ mn//cg。
而cg 平面cbe，mn平面cbe，得mn//平面cbe。
證明2：過m，n作mh//ab，交bc於h，作ng//ab交be於g，連線gh，得mh//ng，
又易得rtδcmh≌rtδbng，得mh=ng。
直線的平行與垂直的判定
3.1.2 兩條直線平行與垂直的判定 整體設計 教學分析 直線的平行和垂直是兩條直線的重要位置關係，它們的判定，又都是由相應的斜率之間的關係來確定的，並且研究討論的手段和方法也相類似，因此，在教學時採用對比方法，以便弄清平行與垂直之間的聯絡與區別.值得注意的是，當兩條直線中有一條不存在斜率時，容易得...
空間的平行直線與異面直線 基礎知識
形補法！具體見 綠色通道 p21 注意！若兩條異面直線所成的角是直角，則稱這兩條異面直線互相垂直。異面直線所成角與o點位置無關，只與兩異面直線的位置有關。為了簡便，點通常取在異面直線的一條上。異面直線所成的角的範圍 7 求異面直線所成的角的方法 1 通過平移，在一條直線上找一點，過該點做另一直線的平...
立體幾何與直線平行與垂直
三 解答題 10 如圖所示，在正方體abcd a1b1c1d1中，e f分別是稜b1c1 b1b的中點 求證 cf 平面eab 11 如圖所示，在四稜錐p abcd中，底面abcd是矩形，側稜pa垂直於底面，e f分別是ab，pc的中點，pa ad 求證 1 cd pd 2 ef 平面pcd 能力提...