考點透析17：空間垂直與與平行證明
【考點聚焦】 考點1：空間元素點、線、面之間的垂直與平行關係的判斷；
考點2：空間線面垂直與平行關係的證明；簡單幾何體中的線面關係證明；
【考點小測】
1． 已知m、n是兩條不重合的直線，α、β、γ是三個兩兩不重合的平面．給出下列的四個命題：
①若，，則；②若，，則；③若，，，則；
④若m、n是異面直線，，，，，則，其中真命題是
ａ.①和和③ ｃ.③和和④
2．（北京卷）平面的斜線交於點，過定點的動直線與垂直，且交於點，則動點的軌跡是 （a）一條直線 （b）乙個圓（c）乙個橢圓（d）雙曲線的一支
3．（湖北卷）關於直線與平面，有以下四個命題：①若且，則；②若且，則；③若且，則；④若且，則；其中真命題的序號是 abcd．②③
4．(上海卷)若空間中有四個點，則「這四個點中有三點在同一直線上」是「這四個點在同一平面上」的 （ ）
（a）充分非必要條件；（b）必要非充分條件；（c）充要條件；（d）非充分非必要條件
5.(上海卷)如果一條直線與乙個平面垂直，那麼，稱此直線與平面構成乙個「正交線面對」．在乙個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的「正交線面對」的個數是
6. 在正四面體p－abc中，d，e，f分別是ab，bc，ca的中點，下面四個結論中不成立的是（ ）
（a）bc//平面pdf （b）df⊥平面pa e （c）平面pdf⊥平面abc （d）平面pae⊥平面 abc
7.給出下列關於互不相同的直線和平面的四個命題:
1 則與m不共面；、m是異面直線，；
2 若；若，則
其中為假命題的是c）（a）① （b）② （c）③ （d）④
8．已知a、b、c是直線，是平面，給出下列命題：①若②若
③若；④若a與b異面，且相交； ⑤若a與b異面，則至多有一條直線與a，b都垂直. 其中真命題的個數是a．1 b．2 c．3 d．4
9．.（全國ii）如圖，平面α⊥平面β，a∈α，b∈β，ab與兩平面α、β所成的角分別為和，過a、b分別作兩平面交線的垂線，垂足為a′、b′，則ab∶a′b′＝
（a）2∶1 （b）3∶1 （c）3∶2 （d）4∶3
【典型考例】例1．（p75例3）
例1.如圖, 在直三稜柱abc－a1b1c1中，ac＝3，bc＝4，aa1＝4，ab=5點d是ab的中點，（i）求證：ac⊥bc1；
（）求證：ac 1//平面cdb1；
（）設bd1的中點為f，求三稜錐b1-bef的體積
例2．已知abcd是上．下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸oo1折成直二面角（ⅰ）證明：ac⊥bo1；（ⅱ）求點o1到平面aoc的距離。（）求四面體o1-aco的體積。
例3.如圖，在底面為平行四邊形的四稜錐中，，平面，且，點是的中點.（ⅰ）求證：；（ⅱ）求證：平面；（ⅲ）求四面體b-aed的體積。
例4．（2006湖北文文修改）如圖，已知正三稜柱abc-a1b1c1的側稜長和底面邊長均為1，m是底面bc邊上的中點，n是側稜cc1上的點。（ⅰ）當b1m⊥an時，求cn的長度；（ⅱ）若cn=時，求點b1到平面amn的距離。
【考點聚焦】
考點1：空間元素點、線、面之間的垂直與平行關係的判斷；
考點2：空間線面垂直與平行關係的證明；簡單幾何體中的線面關係證明；
【考點小測】
1．已知m、n是兩條不重合的直線，α、β、γ是三個兩兩不重合的平面．給出下列的四個命題： ①若，，則；②若，，則；③若，，，則；
④若m、n是異面直線，，，，，則，其中真命題是
ａ.①和和和和④
2．（北京卷）平面的斜線交於點，過定點的動直線與垂直，且交於點，則動點的軌跡是a）一條直線 （b）乙個圓（c）乙個橢圓 （d）雙曲線的一支
3．（湖北卷）關於直線與平面，有以下四個命題：①若且，則；②若且，則；③若且，則；④若且，則；其中真命題的序號是 abcd．②③
4．(上海卷)若空間中有四個點，則「這四個點中有三點在同一直線上」是「這四個點在同一平面上」的 （ ）
（a）充分非必要條件；（b）必要非充分條件；（c）充要條件；（d）非充分非必要條件
解：充分性成立： 「這四個點中有三點在同一直線上」有兩種情況：
1）第四點在共線三點所在的直線上，可推出「這四個點在同一平面上」；2）第四點不在共線三點所在的直線上，可推出「這四點在唯一的乙個平面內」；必要性不成立：「四個點在同一平面上」可能推出「兩點分別在兩條相交或平行直線上」； 故選（a）
5.(上海卷)如果一條直線與乙個平面垂直，那麼，稱此直線與平面構成乙個「正交線面對」．在乙個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的「正交線面對」的個數是
解：正方體中，乙個面有四條稜與之垂直，六個面，共構成24個「正交線面對」；而正方體的六個對角截面中，每個對角面又有兩條面對角線與之垂直，共構成12個「正交線面對」，所以共有36個「正交線面對」；6. 在正四面體p－abc中，d，e，f分別是ab，bc，ca的中點，下面四個結論中不成立的是（c）
（a）bc//平面pdf （b）df⊥平面pa e （c）平面pdf⊥平面abc （d）平面pae⊥平面 abc
7.給出下列關於互不相同的直線和平面的四個命題:
3 則與m不共面；、m是異面直線，；
4 若；若，則
其中為假命題的是c）（a）① （b）② （c）③ （d）④
8．已知a、b、c是直線，是平面，給出下列命題：①若②若
③若；④若a與b異面，且相交； ⑤若a與b異面，則至多有一條直線與a，b都垂直. 其中真命題的個數是a．1子 b．2 c．3 d．4
9．.（全國ii）如圖，平面α⊥平面β，a∈α，b∈β，ab與兩平面α、β所成的角分別為和，過a、b分別作兩平面交線的垂線，垂足為a′、b′，則ab∶a′b′＝
（a）2∶1 （b）3∶1 （c）3∶2 （d）4∶3
解析:連線,設ab=a,可得ab與平面所成的角為
,在,同理可得ab與平面所成的角為,所以,因此在,所以,故選a
【典型考例】
例1．（p75例3） 如圖，在五面體abcdef中，點o是矩形abcd的對角線的交點，面cde是等邊三角形，稜 （i）證明平面 （ii）設證明平面
（19）本小題考查直線與平面平行、直線與平面垂直等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力。滿分12分。
（i）證明：取cd中點m，鏈結om。
在矩形abcd中，
又則鏈結em，於是
四邊形efom為平行四邊形。
又平面cde，且平面cde，平面cde。
（ii）證明：鏈結fm。由（i）和已知條件，在等邊中，
且因此平行四邊形efom為菱形，從而。
平面eom，從而
而所以平面
例2． 如圖, 在直三稜柱abc－a1b1c1中，ac＝3，bc＝4，aa1＝4，ab=5點d是ab的中點， （i）求證：ac⊥bc1； （）求證：ac 1//平面cdb1； （）設bd1的中點為f，求三稜錐b1-bef的體積
證：（）直三稜柱abc－a1b1c1，底面三邊長ac=3，bc=4ab=5，
∴ ac⊥bc，且bc1在平面abc內的射影為bc，∴ ac⊥bc1；
（）設cb1與c1b的交點為e，鏈結de，∵ d是ab的中點，e是bc1的中點，∴ de//ac1，
∵ de平面cdb1，ac1平面cdb1，∴ ac1//平面cdb1；
例2．已知abcd是上．下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸oo1折成直二面角
（ⅰ）證明：ac⊥bo1；
（ⅱ）求點o1到平面aoc的距離。
（）求四面體o1-aco的體積。
（i）證明由題設知oa⊥oo1，ob⊥oo1.
所以∠aob是所折成的直二面角的平面角，
即oa⊥ob. 故可以o為原點，oa、ob、oo1
所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角座標系，
如圖3，則相關各點的座標是a（3，0，0），
b（0，3，0），c（0，1，）o1（0，0，）.
從而 所以ac⊥bo1.
例3.如圖，在底面為平行四邊形的四稜錐中，，平面，且，點是的中點.（ⅰ）求證：；（ⅱ）求證：平面；
（ⅲ）求四面體b-aed的體積。
解：（1）由平面可得paac
又，所以ac平面pab，所以
（2）如圖，連bd交ac於點o，連eo，則
eo是△pdb的中位線，eopb
pb平面
（3）如圖，取ad的中點f，連ef，fo，則ef是△pad的中位線，efpa又平面，ef平面
同理fo是△adc的中位線，foabfoac由三垂線定理可知eof是二面角e－ac－d的平面角.又fo＝ab＝pa＝efeof＝45而二面角與二面角e－ac－d互補，故所求二面角的大小為135.
例4．（2006湖北文文修改）如圖，已知正三稜柱abc-a1b1c1的側稜長和底面邊長均為1，m是底面bc邊上的中點，n是側稜cc1上的點。（ⅰ）當b1m⊥an時，求cn的長度；（ⅱ）若cn=時，求點b1到平面amn的距離。
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