立體幾何垂直證明題常見模型及方法
垂直轉化：線線垂直線面垂直面面垂直；
基礎篇型別一：線線垂直證明（共面垂直、異面垂直）
（1） 共面垂直：實際上是平面內的兩條直線的垂直 （只需要同學們掌握以下幾種模型）
等腰（等邊）三角形中的中線
菱形（正方形）的對角線互相垂直勾股定理中的三角形
1:1:2 的直角梯形中利用相似或全等證明直角。
例：在正方體中，o為底面abcd的中心，e為,求證：
（2） 異面垂直 （利用線面垂直來證明，高考中的意圖）
例1 在正四面體abcd中，求證
變式1 如圖，在四稜錐中，底面是矩形，已知．
證明：；
變式2如圖，在三稜錐中，⊿是等邊三角形，∠pac=∠pbc=90 證明：ab⊥pc
型別二：線面垂直證明
方法利用線面垂直的判斷定理
例2：在正方體中，o為底面abcd的中心，e為,求證：
變式1：在正方體中，,求證：
變式2：如圖：直三稜柱abc－a1b1c1中，ac=bc=aa1=2，∠acb=90.e為bb1的中點，d點在ab上且de=.
求證：cd⊥平面a1abb1；
變式3：如圖，在四面體abcd中，o、e分別是bd、bc的中點，
求證：平面bcd；
變式4 如圖，在底面為直角梯形的四稜錐中，，
，平面．，，，
求證：平面
利用面面垂直的性質定理
例3：在三稜錐p-abc中，,，
。方法點撥：此種情形，條件中含有面面垂直。
變式1, 在四稜錐，底面abcd是正方形，側面pab是等腰三角形，且,求證：
型別3：面面垂直的證明。(本質上是證明線面垂直)
例1 如圖，已知平面，平面，△為等邊三角形，
，為的中點.
(1) 求證：平面；
(2) 求證：平面平面；
例2 如圖，在四稜錐中，底面，，，是的中點．
（1） 證明； （2）證明平面；
變式1已知直四稜柱abcd—a′b′c′d′的底面是菱形，，e、f分別是稜cc′與bb′上的點，且ec=bc=2fb=2．
（1）求證：平面aef⊥平面aa′c′c；
練習：1.設m表示平面，a、b表示直線，給出下列四個命題：
①②③b∥m④b⊥m.
其中正確的命題是
a.①② bcd.①②④
2.下列命題中正確的是
a.若一條直線垂直於乙個平面內的兩條直線，則這條直線垂直於這個平面
b.若一條直線垂直於乙個平面內的無數條直線，則這條直線垂直於這個平面
c.若一條直線平行於乙個平面，則垂直於這個平面的直線必定垂直於這條直線
d.若一條直線垂直於乙個平面，則垂直於這條直線的另一條直線必垂直於這個平面
3.如圖所示，在正方形abcd中，e、f分別是ab、bc的中點.現在沿de、df及ef把△ade、△cdf和△bef折起，使a、b、c三點重合，重合後的點記為p.
那麼，在四面體p—def中，必有
a.dp⊥平面pef b.dm⊥平面pef c.pm⊥平面def d.pf⊥平面def
4.設a、b是異面直線，下列命題正確的是
a.過不在a、b上的一點p一定可以作一條直線和a、b都相交
b.過不在a、b上的一點p一定可以作乙個平面和a、b都垂直
c.過a一定可以作乙個平面與b垂直
d.過a一定可以作乙個平面與b平行
5.如果直線l,m與平面α,β,γ滿足:l=β∩γ,l∥α,mα和m⊥γ,那麼必有 ( )
a.α⊥γ且l⊥m b.α⊥γ且m∥β c.m∥β且l⊥m d.α∥β且α⊥γ
6.ab是圓的直徑，c是圓周上一點，pc垂直於圓所在平面，若bc=1,ac=2,pc=1，則p到ab的距離為
a.1 b.2 c. d.
7.有三個命題：
①垂直於同乙個平面的兩條直線平行；
②過平面α的一條斜線l有且僅有乙個平面與α垂直；
③異面直線a、b不垂直，那麼過a的任乙個平面與b都不垂直
其中正確命題的個數為 ( )
a.0 b.1 c.2 d.3
8.d是異面直線a、b的公垂線，平面α、β滿足a⊥α，b⊥β，則下面正確的結論是 ( )
a.α與β必相交且交線m∥d或m與d重合
b.α與β必相交且交線m∥d但m與d不重合
c.α與β必相交且交線m與d一定不平行
d.α與β不一定相交
9.設l、m為直線，α為平面，且l⊥α，給出下列命題
1 若m⊥α，則m∥l；②若m⊥l，則m∥α；③若m∥α，則m⊥l；④若m∥l，則m⊥α，
其中真命題的序號是
abcd.①③④
10.已知直線l⊥平面α，直線m平面β，給出下列四個命題：
①若α∥β，則l⊥m；②若α⊥β，則l∥m；③若l∥m，則α⊥β；④若l⊥m，則α∥β.
其中正確的命題是 ( )
a.③與④ b.①與③ c.②與④ d.①與②
二、能力提高
14.如圖所示,三稜錐v-abc中,ah⊥側面vbc,且h是△vbc的垂心，be是vc邊上的高.
(1)求證:vc⊥ab;
(2)若二面角e—ab—c的大小為30°,求vc與平面abc
所成角的大小.
15.如圖所示，pa⊥矩形abcd所在平面，m、n分別是ab、pc的中點.
(1)求證：mn∥平面pad. (2)求證：mn⊥cd.
(3)若∠pda＝45°，求證：mn⊥平面pcd.
16.如圖所示，在四稜錐p—abcd中，底面abcd是平行四邊形，∠bad＝60°，ab＝4，ad＝2，側稜pb＝，pd＝.(1)求證：
bd⊥平面pad. (2)若pd與底面abcd成60°的角，試求二面角p—bc—a的大小.
17.已知直三稜柱abc-a1b1c1中，∠acb=90°,∠bac=30°,bc=1，aa1=，m是cc1的中點，求證：ab1⊥a1m．
18.如圖所示，正方體abcd—a′b′c′d′的稜長為a，m是ad的中點，n是bd′上一點，且d′n∶nb＝1∶2，mc與bd交於p.
(1)求證：np⊥平面abcd.
(2)求平面pnc與平面cc′d′d所成的角.
(3)求點c到平面d′mb的距離.
空間中的計算
基礎技能篇
型別一：點到面的距離
方法1：直接法—把點在面上的射影查出來，然後在直角三角形中計算
例1：在正四面體abcd中，邊長為a，求點a到面bcd的距離。
變式1 在正四稜錐v-abcd中，底面abcd邊長為a,側稜長為b.求頂點v到底面abcd的距離。
變式2在正四稜錐v-abcd中，底面abcd邊長為a,側稜長為b.求頂點a到底面vcd的距離。
方法2：等體積法求距離---在同乙個三稜錐中利用體積不變原理，通過轉換不同的底和高來達到目的。
例2 已知在三稜錐v—abc中，va,vb,vc兩兩垂直，va=vb=3，vc=4，求點v到面abc的距離。
變式1：如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截而得到的，其中．
（1）求的長；
（2）求點到平面的距離．
變式2 如圖，在四稜錐中，底面abcd是四邊長為1的菱形，,面, ,．求點b到平面ocd的距離．
變式3在正四面體abcd中，邊長為a，求它的內切求的半徑。
型別二：其它種類的距離的計算（點到線，點到點 ）
例3 如圖，在四稜錐中，底面abcd是四邊長為1的菱形，,面, ,m為oc的中點，求am和點a到直線oc的距離．
習題：1．正三稜錐p-abc高為2，側稜與底面所成角為，則點到側面的距離是
a． b． c．6 d．
2．如圖，已知正三稜柱的底面邊長為1，高為8，一質點自點
出發，沿著三稜柱的側面繞行兩周到達點的最短路線的長為
a．10 b．20 c．30 d．40
二、填空題：
3．太陽光照射高為m的竹竿時，它在水平地面上的射影
為1m，同時，照射地面上一圓球時，如圖所示，其影子
的長度ab等於cm,則該球的體積為
4．若乙個正三稜柱的三檢視如下圖所示，則這個正三稜柱的高和底面邊長分別為___．
三、解答題：
5．已知正三稜柱abc-a1b1c1的側稜長和底面邊長均為1，m是底面bc邊上的中點，n是側稜cc1上的點，且cn＝2c1n．求點b1到平面amn的距離．
6．乙個多面體的直觀圖及三檢視如圖所示：（其中m、n分別是af、bc的中點）.
（1）求證：mn∥平面cdef；
（2）求多面體a—cdef的體積．
7．乙個多面體的直觀圖和三檢視如圖所示，其中m、n分別是ab、ac的中點，g是df上的一動點.
（1）求證：
（2）當fg=gd時，在稜ad上確定一點p，使得gp//平面fmc,並給出證明．
8．如圖，已知正四稜錐,設為的中點，為的中點，為邊上的點．
（1）求證：平面；
（2）試確定點的位置，使得平面底面．
9乙個多面體的直觀圖、主檢視、左檢視、俯檢視如圖所示，、分別為、的中點．
（1） 求證：平面；
（2） 求證：平面．（3）求點a到面anm的距離
10正四稜柱abcd—a1b1c1d1中，底面邊長為2，側稜長為4. e，f分別為稜ab，bc的中點，ef∩bd=g.
（ⅰ）求證：平面b1ef⊥平面bdd1b1；
（ⅱ）求點d1到平面b1ef的距離d；
（ⅲ）求三稜錐b1—efd1的體積v.
11.在三稜錐s—abc中，∠sab=∠sac=∠acb=90°，且ac=bc=5，sb=5.（如圖9—21）
（ⅰ）證明：sc⊥bc；
（ⅱ）求側面sbc與底面abc所成二面角的大小；
（ⅲ）求三稜錐的體積vs－abc.
第4課線面垂直習題解答
1.a 兩平行中有一條與平面垂直，則另一條也與該平面垂直，垂直於同一平面的兩直線平行.
2.c 由線面垂直的性質定理可知.
3.a 折後dp⊥pe,dp⊥pf，pe⊥pf.
立體幾何垂直
二 垂直關係 題型一直線與平面垂直的判定與性質 例1 2016 全國甲卷改編 如圖，菱形abcd的對角線ac與bd交於點o，ab 5，ac 6，點e，f分別在ad，cd上，ae cf ef交bd於點h.將 def沿ef折到 d ef的位置 od 證明 d h 平面abcd.變式1 2015 江蘇 如...
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