【高考領航】2017屆高考數學大一輪複習演練經典習題6 理北師大版
1．根據多年經驗，張先生在本單位的一次考核中，獲得第
一、二、三、四名的概率分別為0.21,0.23,0.25,0.28，計算張先生在一次考核中：
(1)獲得第一名或第四名的概率；
(2)名次不在前四名的概率．
解：(1)記「獲得第一名」為事件a，「獲得第四名」為事件b，由於在一次考核中，a與b不可能同時發生，故a與b是互斥事件．則獲得第一名或第四名的概率為p(a∪b)＝p(a)＋p(b)＝0.21＋0.
28＝0.49.
(2)記「名次不在前四名」為事件e，則事件為「獲得第一名、第二名、第三名、第四名」的事件，獲得第一名、第二名、第三名、第四名這幾個事件是彼此互斥的，
故p()＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97.
從而p(e)＝1－p()＝1－0.97＝0.03.
2．為調查甲、乙兩校高三年級學生某次聯考數學成績情況，用簡單隨機抽樣，從這兩校中各抽取30名高三年級學生，以他們的數學成績(百分制)作為樣本，樣本資料的莖葉圖如圖：
(1)若甲校高三年級每位學生被抽取的概率為0.05，求甲校高三年級學生總人數，並估計甲校高三年級這次聯考數學成績的及格率(60分及60分以上為及格)；
(2)設甲、乙兩校高三年級學生這次聯考數學平均成績分別為1， 2，估計1－2的值．
解：(1)設甲校高三年級學生總人數為n.
由題意知＝0.05，解得n＝600.
樣本中甲校高三年級學生數學成績不及格人數為5，據此估計甲校高三年級這次聯考數學成績的及格率為1－＝.
(2)設甲、乙兩校樣本平均數分別為1， 2.
根據樣本莖葉圖可知30(1－2)＝301－302
＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.
因此1－2＝0.5，故1－2的估計值為0.5分．
3．有7位歌手(1至7號)參加一場歌唱比賽，由500名大眾評委現場投票決定歌手名次．根據年齡將大眾評委分為5組，各組的人數如下：
(1)為了調查評委對7位歌手的支援情況，現用分層抽樣方法從各組中抽取若干評委， 其中從b組抽取了6人，請將其餘各組抽取的人數填入下表.
(2)在(1)中，若a，b兩組被抽到的評委中各有2人支援1號歌手，現從這兩組被抽到的評委中分別任選1人，求這2人都支援1號歌手的概率.
解：(1)由題設知，分層抽樣的抽取比例為6%，所以各組抽取的人數如下表：
(2)記從a組抽到的3位評委分別為a1，a2，a3，其中a1，a2支援1號歌手；從b組抽到的6位評委分別為b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支援1號歌手，從和中各抽取1人的所有結果如圖：
由樹狀圖知所有結果共18種，其中2人都支援1號歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，共4種，故所求概率p＝＝.
4．某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產量是否與年齡有關，現採用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統計了他們某月的日平均生產件數，然後按工人年齡在「25周歲以上(含25周歲)」和「25周歲以下」分為兩組，再將兩組工人的日平均生產件數分成5組：[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]分別加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)從樣本中日平均生產件數不足60件的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名「25周歲以下組」工人的概率；
(2)規定日平均生產件數不少於80件者為「生產能手」，請你根據已知條件完成2×2列聯表，並判斷是否有90%的把握認為「生產能手與工人所在的年齡組有關」？
附：χ2＝
解析：(1)由已知得，樣本中有25周歲以上組工人60名，25周歲以下組工人40名．所以，樣本中日平均生產件數不足60件的工人中，25周歲以上組工人有60×0.05＝3(人)，記為a1，a2，a3；25周歲以下組工人有40×0.
05＝2(人)，記為b1，b2.
從中隨機抽取2名工人，所有的可能結果共有10種，它們是：(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)．
其中，至少有1名「25周歲以下組」工人的可能結果共有7種，它們是：(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)．故所求的概率p＝.
(2)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名工人中，「25周歲以上組」中的生產能手60×0.25＝15(人)，「25周歲以下組」中的生產能手40×0.375＝15(人)，據此可得2×2列聯表如下：
所以得χ2＝
＝＝≈1.79.
因為1.79<2.706，所以沒有90%的把握認為「生產能手與工人所在的年齡組有關」．
5．某市為了了解今年高中畢業生的體能狀況，從本市某校高中畢業班中抽取乙個班進行鉛球測試，成績在8.0公尺(精確到0.1公尺)以上的為合格．把所得資料進行整理後，分成6組畫出頻率分布直方圖的一部分(如圖)，已知從左到右
前5個小組的頻率分別為0.04,0.10,0.14,0.28，0.30，第6小組的頻數是7.
(1)求這次鉛球測試成績合格的人數；
(2)用此次測試結果估計全市畢業生的情況．若從今年的高中畢業生中隨機抽取兩名，記x表示兩人中成績不合格的人數，求x的分布列及數學期望；
(3)經過多次測試後，甲成績在8～10 公尺之間，乙成績在9.5～10.5 公尺之間，現甲、乙各投擲一次，求甲比乙投擲遠的概率．
解：(1)第6小組的頻率為
1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，
∴此次測試總人數為＝50(人)．
∴第4,5,6組成績均合格，人數為(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)．
(2)x＝0,1,2，此次測試中成績不合格的概率為＝，
∴x～b.
p(x＝0)＝2＝，p(x＝1)＝c＝，
p(x＝2)＝2＝.
所求分布列為
ex＝2×＝.
(3)設甲、乙各投擲一次的成績分別為x，y公尺，則基本事件滿足的區域為事件a「甲比乙投擲遠的概率」滿足的區域為x>y，如圖所示．
∴由幾何概型p(a)＝＝.
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