模擬試題九（理）
命題人：劉濱華
第ⅰ卷（共60分）
一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知全集，集合，，則等於（ ）
a. b. c. d.
2. 已知複數（，是虛數單位）為純虛數，則實數的值等於（ ）
a. b. c. d.
3. 如果資料的平均數是，方差是，則，……的平均數和方差分別是（ ）
a. 與 b. 和 c. 和 d. 和
4. 已知，，，則向量與向量的夾角是（ ）
a. b. c. d.
5. 已知則是的（ ）
a. 充分不必要條件 b. 必要不充分條件 c. 充要條件 d. 既不充分也不必要條件
6. 設實數，滿足，則取得最小值時的最優解的個數是（ ）
a. b. c. d. 無數個
7. 已知雙曲線，點，為其兩個焦點，點為雙曲線上一點，若，則三角形的面積為（ ）
a. b. c. d.
8. 如圖所示，網格紙上每個小格都是邊長為的正方形，粗線畫出的乙個幾何體的三檢視，記該幾何體的各稜長度構成的集合為，則（ ）
a. b. c. d.
9. 公元263年左右，我國數學家劉徽發現當圓內接正多邊形的邊上無限增加時，正多邊形的面積可無限逼近於圓的面積，並創立了割圓術，即所謂「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣」.利用割圓術劉徽得到了圓周率精確到小數點後面兩位的近似值，這就是著名的徽率，利用劉徽的割圓術設計的程式框圖，如圖所示，則輸出的（ ）
（參考資料：，，，）
a. b. c. d.
10. 已知拋物線：的焦點為，準線為，是上一點，是直線與的乙個交點，若，則（ ）
a. b. c. d.
11. 已知函式和函式在區間上的圖象交於，，三點，則的面積是（ ）
a. b. c. d.
12. 已知，若函式有四個零點，則實數的取值範圍是（ ）
a. b. c. d.
第ⅱ卷（共90分）
二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）
13. 已知等比數列是遞增數列，是的前項和，若，是方程的兩個根，則
14. 在區間上隨機取乙個數，使直線與圓相交的概率為
15. 在中，角，，的對邊分別為，，，且，，則角等於
16. 已知長方體內接於球，底面是邊長為的正方形，為的中點，平面，則球的表面積為
三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17. 設等差數列的前項和為，則，.
（1）求數列的通項公式；
（2）設數列滿足，，求的前項和.
18. 為了打好脫貧攻堅戰，某貧困縣農科院針對玉公尺種植情況進行調研，力爭有效地改良玉公尺品種，為農民提供技術支援.現對已選出的一組玉公尺的莖高進行統計，獲得莖葉圖如圖（單位：
厘公尺），設莖高大於或等於厘公尺的玉公尺為高莖玉公尺，否則為矮莖玉公尺
（1）完成列聯表，並判斷是否可以在犯錯誤概率不超過的前提下，認為抗倒伏與玉公尺矮莖有關？
（2）為了改良玉公尺品種，現採用分層抽樣的方式從抗倒伏的玉公尺中抽出株，再從這株玉公尺中選取株進行雜交實驗，選取的植株均為矮莖的概率是多少？
（，其中）
19. 如圖，直三稜柱的底面是邊長為的正三角形，，分別是，的中點.
（1）證明：平面平面；
（2）若直線與平面所成的角為，求三稜錐的體積.
20. 已知，分別是橢圓：（）的左、右焦點，，分別是橢圓的上頂點和右頂點，且，離心率.
（1）求橢圓的方程；
（2）設經過的直線與橢圓相交於，兩點，求的最小值.
21. 已知函式，，其中.
（1）設函式，求函式的單調區間；
（2）若存在，使得成立，求實數的取值範圍.
請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.
22. 選修4-4：座標系與引數方程
已知曲線的引數方程為（為引數），以平面直角座標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極座標系.
（1）求曲線的普通方程，並說明其表示什麼軌跡；
（2）若直線的極座標方程為，試判斷直線與曲線的位置關係，若相交，請求出其弦長.
23. 選修4-5：不等式選講設函式（）
（1）求函式的最小值；
（2）若，使得不等式成立，求實數的取值範圍.
模擬試題九（理）答案及解析
第ⅰ卷（共60分）
一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知全集，集合，，則等於（ ）
a. b. c. d.
【答案】d【解析】，所以，故選d。
2. 已知複數（，是虛數單位）為純虛數，則實數的值等於（ ）
a. b. c. d.
【答案】a【解析】，因為是純虛數，所以，。
3. 如果資料的平均數是，方差是，則，……的平均數和方差分別是（ ）
a. 與 b. 和 c. 和 d. 和
【答案】d【解析】，故選d。
4. 已知，，，則向量與向量的夾角是（ ）
a. b. c. d.
【答案】a【解析】由平面向量的運算法則可得： ，
設向量的夾角為，則： .本題選擇a選項.
5. 已知則是的（ ）
a. 充分不必要條件 b. 必要不充分條件 c. 充要條件 d. 既不充分也不必要條件
【答案】a【解析】由得，因為是減函式，所以成立，當時，成立，因為正負不確定，不能推出，故是「」的充分不必要條件
6. 設實數，滿足，則取得最小值時的最優解的個數是（ ）
a. b. c. d. 無數個
【答案】b【解析】試題分析：畫出可行域如下圖所示，由圖可知，目標函式在點處取得最小值.
7. 已知雙曲線，點，為其兩個焦點，點為雙曲線上一點，若，則三角形的面積為（ ）
a. b. c. d.
【答案】c【解析】試題分析：,故選c.
8. 如圖所示，網格紙上每個小格都是邊長為的正方形，粗線畫出的乙個幾何體的三檢視，記該幾何體的各稜長度構成的集合為，則（ ）
a. b. c. d.
【答案】d【解析】該幾何體是大三稜錐割掉乙個三稜錐形成的空間體，
六條稜長分別為，故選d。
9. 公元263年左右，我國數學家劉徽發現當圓內接正多邊形的邊上無限增加時，正多邊形的面積可無限逼近於圓的面積，並創立了割圓術，即所謂「割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣」.利用割圓術劉徽得到了圓周率精確到小數點後面兩位的近似值，這就是著名的徽率，利用劉徽的割圓術設計的程式框圖，如圖所示，則輸出的（ ）
（參考資料：，，，）
a. b. c. d.
【答案】b【解析】試題分析：由程式框圖，值依次為：，，，，此時滿足，輸出．故選b．
10. 已知拋物線：的焦點為，準線為，是上一點，是直線與的乙個交點，若，則（ ）
a. b. c. d.
【答案】a【解析】由可得直線的傾斜角為或 ，故選a.
11. 已知函式和函式在區間上的圖象交於，，三點，則的面積是（ ）
a. b. c. d.
【答案】c【解析】利用五點法畫圖，由圖象可知，底為乙個週期2，高為，所以。故選c。
12. 已知，若函式有四個零點，則實數的取值範圍是（ ）
a. b. c. d.
【答案】b【解析】由題目可知，是偶函式，則時，有兩個解。
令，則，所以在單調遞增，單調遞減。
所以，所以。故選b。
第ⅱ卷（共90分）
二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）
13. 已知等比數列是遞增數列，是的前項和，若，是方程的兩個根，則
【答案】63【解析】試題分析：因為是方程的兩個根，且等比數列是遞增數列，所以，即，則；故填63．
14. 在區間上隨機取乙個數，使直線與圓相交的概率為
【答案】【解析】，所以或，所以概率為。
15. 在中，角，，的對邊分別為，，，且，，則角等於
【答案】【解析】，所以，則。
16. 已知長方體內接於球，底面是邊長為的正方形，為的中點，平面，則球的表面積為
【答案】【解析】試題分析：取的中點為，連線，則四邊形為矩形．因為平面，所以，所以四邊形為正方形，所以球的半徑，所以球的表面積為．
三、解答題 （本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17. 設等差數列的前項和為，則，.
（1）求數列的通項公式；（2）設數列滿足，，求的前項和.
試題解析：（1）設等差數列的首項為，公差為，右，得
，解得，.因此，
（2）由已知當時，；當時，，
所以由（1）知 ，所以，
又兩式相減得所以
18. 為了打好脫貧攻堅戰，某貧困縣農科院針對玉公尺種植情況進行調研，力爭有效地改良玉公尺品種，為農民提供技術支援.現對已選出的一組玉公尺的莖高進行統計，獲得莖葉圖如圖（單位：
厘公尺），設莖高大於或等於厘公尺的玉公尺為高莖玉公尺，否則為矮莖玉公尺
（1）完成列聯表，並判斷是否可以在犯錯誤概率不超過的前提下，認為抗倒伏與玉公尺矮莖有關？
（2）為了改良玉公尺品種，現採用分層抽樣的方式從抗倒伏的玉公尺中抽出株，再從這株玉公尺中選取株進行雜交實驗，選取的植株均為矮莖的概率是多少？
（，其中）
試題解析：（1）根據統計資料做出列聯表如下：
經計算，因此可以在犯錯誤概率不超過的前提下，認為抗倒伏與玉公尺矮莖有關.
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