惠州市2014屆高三第一次調研考試
數學 (理科）參***與評分標準
一．選擇題：共8小題，每小題5分，滿分40分
1.【解析】，故，故選c.
2.【解析】，所以點（位於第二象限.故選b.
3.【解析】∵,∴,∴.故選a.
4.【解析】圓的圓心為,半徑為,因為直線,所以,設直線的方程為,由題意得或.
所以,直線的方程或.故選d.
5.【解析】對於平面、、和直線、,真命題是「若, 則」.故選c
6.【解析】不等式組表示的可行域如圖所示，
故面積為.故選a.
7.【解析】設切點為，則 ①，
∵，又切線l過a、m兩點，
∴則 ②
聯立①、②可解得，從而實數的值為故選d.
8.【解析】從定義出發,抓住的奇偶性對12實行分拆是解決本題的關鍵,當同奇偶時,根據※=將12分拆兩個同奇偶數的和,當一奇一偶時,根據※=將12分拆乙個奇數與乙個偶數的積,再算其組數即可.
若同奇偶,有,前面的每種可以交換位置,最後一種只有1個點,這時有;
若一奇一偶,有,每種可以交換位置,這時有;
∴共有個.故選b
二．填空題：共7小題，每小題5分，滿分30分．其中14~15題是選做題，考生只能選做一題．
9．94.5 10．35 11． （或） 12． 13．36 14． 15． 5
9.【解析】從莖葉圖中可知14個資料排序為：79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114中位數為94與95的平均數94.5 .
10.【解析】.
11.【解析】直線與直線垂直得， .
12.【解析】
.13.【解析】
14.【解析】由得圓為,圓的圓心直線的直角座標方程為，所以點到直線的距離是.
15.【解析】連線,切圓於點,.又，是中點，.
三、解答題：
16. （本小題滿分12分）
解(1)∵
4分 ∴的最大值為25分
最小正週期為6分
(2)由(1)知,
所以,即8分
又是第二象限的角,所以……10分
所以12分
17（本小題滿分12分）
解：(1)若在做義工的志願者中隨機抽取6名,則抽取比例為……………2分
∴ 年齡大於40歲的應該抽取人4分
(2)在上述抽取的6名志願者中任取2名,假設選到年齡大於40歲的人數為,
∵ 6名志願者中有2人的年齡大於40歲,其餘4人的年齡在20到40歲之間,
∴可能的取值為5分
則, , ………8分
∴的分布列為
……………10分
∴ 的數學期望為12分
18（本小題滿分14分）
解: (1)取的中點,連、
、則面,的長就是所要求的距離.
3分 、,
,在直角三角形中,有……6分
（另解:由
(2)鏈結並延長交於,鏈結、.
則就是所求二面角的平面角9分
作於,則
在直角三角形中,
在直角三角形中,……………12分
,故所求的正弦值是14分
方法二: (1)以為原點,、、分別為、、軸建立空間直角座標系.
則有、、、……2分
設平面的法向量為
則由由,……4分
則點到面的距離為……6分
(2) …………8分
設平面的法向量為則由知:
由知:取10分
由(1)知平面的法向量為11分
則<>13分
結合圖形可知,二面角的正弦值是 ……………14分
19.（本小題滿分14分）
解：（1）數列是等差數列且2分
成等比數列， 即②………4分
由①，②解得或…………5分
………6分
（2）證明;由（1）可得7分
所以8分
所以10分
11分，
數列是遞增數列13分
14分20（本小題滿分14分）
解：（1）設，
由題意,可得,即2分
整理得，得(舍)或，所以4分
（2）由（1）知,可得橢圓方程為.
直線方程為5分
兩點的座標滿足方程組,消去y並整理得……6分
解得得方程組的解8分
不妨設,設的座標為則
10分由得.於是11分
由得，化簡得13分
將代入得，
由得.因此,點的軌跡方程是14分
21（本小題滿分14分）
解：∵的解集為,
∴的解集為1分
∴,且方程的兩根為
即，∴ ……2分
（1）∵方程有兩個相等的實根,即有兩個相等的實根
∴,∴或 …………3分
4分 （2）
∵,∴的最小值為5分
則, ,解得, …………7分
8分 （3）由,得 (※)
①當時,方程(※) 有一解,
函式有一零點9分
②當且時,方程(※)有二解10分
i)若, ,函式
有兩個零點11分
ii) 若,0<,函式有兩個零點
13分③當時,方程(※)有一解,
, 函式有一零點. …………14分
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