一、選擇題：
1.已知集合，，則（ ）
a． b． c． d．
2.在復平面內，複數（是虛數單位）對應的點位於（ ）
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限
3.設，則「」是「直線與直線平行」的（ ）
a．充分而不必要條件 b．必要而不充分條件
c．充分必要條件d．既不充分也不必要條件
4.在中，為邊的中點，若，，則（ ）
a． b． c. d．
5.將函式的圖象向左平移個單位，所得的函式關於軸對稱，則的乙個可能取值為（ ）
a． b． c.0 d．
6.若某幾何體的三檢視（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積等於（ ）
a． b． c. d．
7.如圖所示的莖葉圖為高三某班50名學生的化學考試成績，演算法框圖中輸入的為莖葉圖中的學生成績，則輸出的分別是
a． b． c. d．
8.如圖，周長為1的圓的圓心在軸上，頂點，一動點從開始逆時針繞圓運動一周，記走過的弧長，直線與軸交於點，則函式的圖象大致為（ ）
a． bcd．
9.設方程與的根分別為，則（ ）
abcd．
10.已知點是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為拋物線的焦點，在拋物線上且滿足，當取最大值時，點恰好在以，為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（ ）
a． b． c. d．
11.設等差數列的前項和為，已知，，則下列結論正確的是（ ）
a． b．
c. d．
12.德國著名數學家狄利克雷在數學領域成就顯著，以其名命名的函式稱為狄利克雷函式，則關於函式有以下四個命題：
①； ②函式是偶函式；
③任意乙個非零有理數，對任意恆成立；
④存在三個點，，，使得為等邊三角形．其中真命題的個數是( )
a．4 b．3 c.2 d．1
二、填空題
13.已知等比數列的第5項是二項式展開式中的常數項，則
14.冬季供暖就要開始，現分配出5名水暖工去3個不同的居民小區檢查暖氣管道，每名水暖工只去乙個小區，且每個小區都要有人去檢查，那麼分配的方案共有種.
15.若不等式組所表示的平面區域存在點，使成立，則實數的取值範圍是 .
16.如圖所示，由直線，及軸圍成的曲邊梯形的面積介於相應小矩形與大矩形的面積之間，即．模擬之，，恆成立，則實數
三、解答題
17.在中，內角對應的三邊長分別
為，且滿足．
（ⅰ）求角；（ⅱ）若，求的取值範圍.
18.為增強市民的節能環保意識，鄭州市面向全市徵召義務宣傳志願者，從符合條件的500名志願者中隨機抽取100名，其年齡頻率分布直方圖如圖所示，其中年齡分組區是：．（ⅰ）求圖中的值，並根據頻率分布直方圖估計這500名志願者中年齡在歲的人數；（ⅱ）在抽出的100名志願者中按年齡採用分層抽樣的方法抽取10名參加中心廣場的宣傳活動，再從這10名志願者中選取3名擔任主要負責人．記這3名志願者中「年齡低於35歲」的人數為，求的分布列及數學期望.
19.如圖，在四稜錐中，平面，為直角，，，，分別為，的中點.（ⅰ）證明：平面；
（ⅱ）若，求二面角.
20.橢圓，原點到直線的距離為，其中：點，點.（ⅰ）當，，成等差數列時，求的面積；（ⅱ）經過橢圓右焦點的直線和該橢圓交於、兩點，點在橢圓上，為原點，若，求直線的方程.
21.已知函式，函式在處的切線與直線垂直.（ⅰ）求實數的值；（ⅱ）若函式存在單調遞減區間，求實數的取值範圍；（ⅲ）設是函式的兩個極值點，若，求的最小值．
22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
已知中，，為外接圓劣弧上的點（不與點重合），延長至，延長交的延長線於．
（ⅰ）求證：；
（ⅱ）求證：．
23．（本小題滿分10分）選修4-4：極座標系與引數方程
已知曲線的引數方程為（為引數），以直角座標系原點為極點，軸正半軸為極軸建立極座標系．
（ⅰ）求曲線的極座標方程；
（ⅱ）若直線的極座標方程為，求直線被曲線截得的弦長．
24．（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
已知函式，不等式的解集為．
（ⅰ）求實數的值；
（ⅱ）若對一切實數恆成立，求實數的取值範圍．
17屆（高三）第一次聯考
數學（理）試卷
試卷答案
一、選擇題
1-5:cdadb 6-10:bbdac 11、12：da
二、填空題
13.3614.1501516.
三、解答題
17.解析：（ⅰ）∵，
2分4分
6分（ⅱ）解法1：
由正弦定理得，8分∴
…………10分
∵，∴，，
所以12分
解法2：
8分10分
，即12分
（ⅱ）用分層抽樣的方法，從中選取10名，則其中年齡「低於35歲」的人有6名，「年齡不低於35歲」的人有4名，故的可能取值為5分
，，9分
故的分布列為
所以12分
19.解：（ⅰ）
證：由已知平行且等於且為直角，故是矩形，
從而．又底面，∴平面平面，
∵，故平面，∴，
在內，、分別是、的中點，，∴，
由此得平面6分
方程有解，故不論取任何正整數時，方程總有公共根.
（ⅱ）以為原點，以，，為軸，軸，軸正向建立空間直角座標系，
則，，設平面的法向量為，平面的法向量為，
則可取，
設二面角的大小為，則
，所以12分.
20.解：（ⅰ）設直線且，
所以離心率3分.
（ⅱ）橢圓方程為，設，
①當直線斜率為0時，其方程為，
此時，，不滿足，不符合題意，捨去………………4分
②當直線斜率不為0時設直線方程為，
由題意：消得5分
所以7分
因為，所以，，
因為點在橢圓上，
所以所以……………………9分
∵化簡得，得，直線為……………………11分
綜上，直線為12分
21.解：（ⅰ）∵，∴，
∵與直線垂直2分
（ⅱ）∵，∴，
由題知在上有解，
∵設，則，所以只需，
故的取值範圍是6分
. （ⅲ）∵，
令，得，
由題，，則8分
∵，所以令，
又，所以，所以，
整理有，解得，
10分，所以在單調遞減，
，故的最小值是12分
22.解析：（ⅰ）證明：∵、、、四點共圓，
∴，∵，∴，且，，5分
（ⅱ）由（ⅰ）得，又∵，
所以與相似，
∴，∴，
又∵，∴，∴，
根據割線定理得，
10分23．⑴∵曲線的引數方程為（為引數）
∴曲線的普通方程為，
將代入並化簡得：，
即曲線的極座標方程為5分
（2）∵的直角座標方程為，
∴圓心到直線的距離為，∴弦長為．……………………10分
24．⑴∵，∴，
∵的解集為5分
⑵∵，又恆成立，10分
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