數學試卷(理科)
一、選擇題。(本題共10小題，每小題5分，共計50分)
1．已知複數的虛部是( )
abcd．
2．已知全集,集合，集合，則
a． b． c d．
3．已知,則
a．2bc．－2d．－
4．設向量滿足：
ab．1cd．2
5．已知為第二象限角，
abcd．
6．下列命題中錯誤的是( )
a．命題：「若
」b．已知命題p和q，若pvq為假命題，則命題p與q中必一真一假。
c．對於命題p:，使得。
d．「」是「」的充分不必要條件。
7．設奇函式上為單調遞減，且則不等式的解集為（ ）
a．（－］(0,2b．(－2，0］［2，＋］
c．(－］［2d．［－2，0) (0，2］
8.下列函式圖象是乙個函式與其導函式在同乙個座標系中的圖象，其中一定錯誤的是( )
9．定義在上的函式如果對任意給定的等比數列仍是等比數列，稱為「保等比數列函式」，現有定義在上的如下函式：
①②③④，則其中是「保等比數列函式」的的序號為( )
abcd．②④
10．等差數列的公差，且，當時，數列的前項和取得最小值，則首項的取值範圍為( )
ab．［］
cd．二、填空題(每小題5分，共計25分)
11、計算定積分
12、在△abc中，m是邊bc上的點，n為am中點，則
13、設等比數列的前項和為，則＝
14、已知函式若則實數的最小值為
15、某同學在研究函式的性質時，得到如下的結論：
①的單調遞減區間是；
②無最小值，無最大值
③的圖象與它在（0，0）處切線有兩個交點
④的圖象與直線有兩個交點
其中正確結論的序號是
三．解答題。（本題共6小題，共75分）
16、(本小題滿分12分)
在平面直角座標系中，已知點a（－1，－2），b（2，3），c（－2，－1）。
(1)求以線段ab、ac為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長
(2)設實數滿足，求的值
17.（本小題滿分12分）
已知三角形的三內角a、b、c所對邊的長分別為、、，設向量，若。
(1)求角b的大小；
(2)若△abc的面積為，求ac邊的最小值，並指明此時三角形的形狀。
18．（本小題滿分12分）
已知函式的
部分圖象如圖所示
(1)求函式的解析式；
(2)求函式的單調遞增區間。
19．（本大題滿分12分）
已知數列的前項和滿足：且是與的等差中項。
(1)求t的值及數列的通項公式；
(2) 設，求數列的前n項和。
20．（本小題滿分13分）
已知函式
(1)若曲線與曲線在它們的交點(1，c)處具有公共切線，求，的值；
(2)當時，求函式的單調區間，並求其在區間上的最大值。
21．（本小題滿分14分）
已知函式
(1)當時，求函式在上的極值；
(2)證明：當x＞0時，；
(3)證明：，其中為自然對數的底數）
數學(理科)參***
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分)
二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)
11、 12、 13、－2012 14、3 15、①④
三、解答題(本大題共6小題，共75分)
16、(本題滿分12分)
解析(1)由題設知，則所以故所求的兩條對角線的長分別為.…………………6分
(2)由題設知
從而，所以.……………………12分
17、(本小題滿分12分)
解：(1)
由正弦定理得：
整理得：
即6分(2)由已知得：
由餘弦定理，
當且僅當「」時，上式取等號。
的最小值為2，此時三角形為等邊三角形。…………12分
18、(本題滿分12分)
解析(ⅰ)由題設圖象知，週期，所以，因為點在函式圖象上，所以，即
又因為所以，從而，即
又點（0，1）在函式圖象上，所以，得a=2.
故函式的解析式為……6分
(ⅱ)＝＝＝＝
由，得所以函式的單調遞增區間是………12分
19、(本題滿分12分)
解(ⅰ)當時，，所以，
當時①－②，得，即
故是首項，公比等於的等比數列，所以………………4分
故由是與的等差中項，可得即
因，整理，得，即，
解得或（捨去），所以，故…………6分
(ⅱ)由(ⅰ)，得，
所以， ③
③－④，得……………………8分
＝11分
所以.…………12分
20、(本題滿分13分)
解析(ⅰ)
因為曲線與曲線在它們的交點處具有公共切線，
所以且即且解得…………6分
(ⅱ)記當時，
令得時，與的情況如下：
所以函式的音調遞增區間為和；單調遞減區間為
當即時，函式在區間上單調遞增，在區間上的最大值為
當，且，即時，
函式在區間內單調遞增，在區間上單調遞減，在區間上的最大值為
當，即時，函式在區間內單調遞增，在區間內單調遞減，在區間上單調遞增，又因所以在區間上的最大值為……………13分
21、（本題滿分14分）
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