惠州市2014屆高三第一次調研考試
數學試題（文科）
（本試卷共4頁，21小題，滿分150分。考試用時120分鐘）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請在答題卡上填塗相應選項.
1.已知集合，則 （ ）
ab. c. d.
2.複數等於（ ）
ab. cd.
3.在數列中，，公比，則的值為（ ）
a．7b．8 c．9d．16
4.某城市修建經濟適用房．已知甲、乙、丙三個社群分別有低收入家庭360戶、270戶、180戶，若首批經濟適用房中有90套住房用於解決住房緊張問題，採用分層抽樣的方法決定各社群戶數，則應從乙社群中抽取低收入家庭的戶數為（ ）
a．40b．36c．30d．20
5.下列函式中，既是偶函式，又是在區間上單調遞減的函式是（ ）
a． b． c． d．
6.已知平面向量的夾角為，且，，則等於
a. b. c. d.
7.若正三稜柱的三檢視如圖所示，該三稜柱的表面積是（ ）
a. b. c. d.
8.執行如圖所示程式框圖．若輸入，則輸出的值是（ ）
abc． d．
9.圓與直線相切於第三象限，則的值是（ ）．
a． b． c． d．
10.設函式有三個零點，
且則下列結論正確的是（ ）
a. b. c. d.
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題得分．
11.在中，若，則
12.不等式組表示的平面區域的面積是
13.定義對映，其中，，已知對所有的有序正整數對滿足下述條件:①，②若，；
③，則14.（座標系與引數方程選做題）在極座標系中，為極點，直線過圓：的圓心，且與直線垂直，則直線的極座標方程為 ．
15.(幾何證明選講選做題) 如圖示，是半圓周上的兩個三等分點，直徑，，垂足為，則的長為
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16.（本小題滿分12分）已知函式.（1）求函式的最小正週期和最小值；（2）若，，求的值.
17.（本小題滿分12分）為調查乘客的候車情況，公交公司在某站台的60名候車乘客中隨機抽取15人，將他們的候車時間（單位：分鐘）作為樣本分成5組，如下表所示：
（1）估計這60名乘客中候車時間少於10分鐘的人數；
（2）若從上表第
三、四組的6人中隨機抽取2人作進一步的問卷調查，求抽到的兩人恰好來自不同組的概率．
18.（本小題滿分14分）在正方體中，稜長為2，是稜上中點，是稜中點，
（1）求證：面；（2）求三稜錐的體積．
19．（本小題滿分14分）設數列的前項和為，點在直線上，．（1）證明數列為等比數列，並求出其通項；
（2）設，記，求數列的前和．
20．（本小題滿分14分）如圖，,是橢圓的兩個
頂點,，直線的斜率為．
（1） 求橢圓的方程；（2）設直線平行於，
與軸分別交於點，與橢圓相交於，
證明：△的面積等於△的面積．
21．(本小題滿分14分）已知函式，，（1）若，求函式的極值；
（2）若函式在上單調遞減，求實數的取值範圍；
（3）在函式的圖象上是否存在不同的兩點，使線段的中點的橫座標與直線的斜率之間滿足？若存在，求出；若不存在，請說明理由.
惠州市2014屆高三第一次調研考試試題
數學（文科）答案
一、選擇題
【解析】
1.，故，選c
2.，選d
3.數列為，等比數列，，選b
4.設從乙社群抽取戶，則，解得，選c
5.不是偶函式，是週期函式，在區間上不是單調遞減，在區間上單調遞增，故選d。
6.，選c
7.由三檢視可知，三稜柱的高為1，底面正三角形的高為，所以正三角形的邊長為2，所以三稜柱的側面積為，兩底面積為，所以表面積為，選a.
8. ，故選c
9.解得，因為圓與直線相切於第三象限，由圖可知，，故選c。
10．，令故
又因為，，，，綜合以上資訊可得示意圖如右，由圖可知， <1，選c.
二、填空題11. 12. 13.2 14. 15.
【解析】11.由餘弦定理解得
12.不等式組表示的可行域如圖所示，故面積為
13.由題意可知，，，
14. 圓c的直角座標方程為，故圓心c為，過圓心且與oc垂直的直線為，轉為極座標方程為。
15.依題意知,則,
,代入解得。
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16.解：（1）已知函式即2分
3分當時，即4分
6分（2）……………8分
由，，解得：………10分
11分所以12分
17.解：（1）由頻率分布表可知：這15名乘客中候車時間少於10分鐘的人數為8，
所以，這60名乘客中候車時間少於10分鐘的人數大約等於人.…4分
（2）設第三組的乘客為，第四組的乘客為1，2；
「抽到的兩個人恰好來自不同的組」為事件5分
所得基本事件共有15種，即：
…………………8分
其中事件包含基本事件，共8種，………10分
由古典概型可得12分
18.解：（1）取中點，連線，
則為中位線，，…………2分
而正方體，是稜上中點，
故，………………4分
，所以四邊形為平行四邊形。
， ……………6分
而面，面，
故8分（2）正方體中，，故為高，………10分
…………12分
故………14分
19.解：（11分
時，………………2分
時3分兩式相減得：，，………5分
是以為首項，為公比的等比數列. ………………6分
7分(2) ，則，…………9分
①②…………………10分
①-②得：……………11分
…………13分
……14分
20．（1）解：依題意，，，
整理得2分
解得3分
所以橢圓的方程為4分
（2）證明：由於//，設直線的方程為，將其代入，消去，
整理得． ………6分
設，．所以 ………8分
證法一：記△的面積是，△的面積是．
由，，則………………10分
因為 ，所以 ，…13分
從而14分
證法二：記△的面積是，△的面積是．
則線段的中點重合． ………………10分
因為 ，所以 ，．
故線段的中點為
因為 ，，所以線段的中點座標亦為．……13分
從而14分
21.解：（1）的定義域為1分
2分故單調遞增；
單調遞減，…………………3分
時，取得極大值，無極小值4分
（2），，
若函式在上單調遞增，
則對恆成立5分
，只需………………6分
時，，則，，………7分
故，的取值範圍為8分
（3）假設存在，不妨設，
………………………9分
10分由得，整理得………11分
令，，…12分，
在上單調遞增13分
，故不存在符合題意的兩點14分
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