絕密啟用前
2023年普通高等學校招生全國統一考試（四川卷）
數學（理工類）
本試題卷分第ⅰ卷（選擇題）和第ⅱ卷（非選擇題）．第ⅰ卷1至2頁，第ⅱ卷3至4頁，共4頁．考生作答時，須將答案答在答題卡上，在本試題卷、草稿紙上大題無效．滿分150分．考試時間120分鐘．考試結束後，將本試題卷和答題卡上一併交回．
第ⅰ卷 （選擇題共50分）
注意事項：
必須使用2b鉛筆在答題卡上將所選答案對應的標號塗黑．
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有乙個是符合題目要求的．
1．設集合，集合，則（ ）
（a） （bcd）
2．如圖，在復平面內，點表示複數，則圖中表示的共軛複數的點是（ ）
（abcd）
3．乙個幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的直觀圖可以是（ ）
4．設，集合是奇數集，集合是偶數集．若命題，則（ ）
（ab）
（cd）
5．函式的部分圖象如圖所示，則的值分別是（ ）
（a） （bcd）
6．拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是（ ）
（abcd）
7．函式的圖象大致是（ ）
8．從這五個數中，每次取出兩個不同的數分別為，共可得到的不同值的個數是（ ）
（abcd）
9．節日家前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，若接通電後的4秒內任一時刻等可能發生，然後每串彩燈在內4秒為間隔閃亮，那麼這兩串彩燈同時通電後，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是（ ）
（abcd）
10．設函式（，為自然對數的底數）．若曲線上存在使得，則的取值範圍是（ ）
（abcd）
第二部分 （非選擇題共100分）
注意事項：
必須使用0.5公釐黑色簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區域內作答．作圖題可先用鉛筆繪出，確認後再用0.5公釐黑色墨跡簽字筆描清楚．答在試題卷上無效．
二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．
11．二項式的展開式中，含的項的係數是用數字作答）
12．在平行四邊形中，對角線與交於點，，則
13．設，，則的值是
14．已知是定義域為的偶函式，當≥時，，那麼，不等式的解集是
15．設為平面內的個點，在平面內的所有點中，若點到點的距離之和最小，則稱點為點的乙個「中位點」．例如，線段上的任意點都是端點的中位點．則有下列命題：
①若三個點共線，**段上，則是的中位點；
②直角三角形斜邊的點是該直角三角形三個頂點的中位點；
③若四個點共線，則它們的中位點存在且唯一；
④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點．
其中的真命題是寫出所有真命題的序號）
三、解答題：本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
16．(本小題滿分12分) 在等差數列中，，且為和的等比中項，求數列的首項、公差及前項和．
17．(本小題滿分12分) 在中，角的對邊分別為，且．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）若，，求向量在方向上的投影．
18．(本小題滿分12分) 某演算法的程式框圖如圖所示，其中輸入的變數在這個整數中等可能隨機產生．
（ⅰ）分別求出按程式框圖正確程式設計執行時輸出的值為的概率；
（ⅱ）甲、乙兩同學依據自己對程式框圖的理解，各自編寫程式重複執行次後，統計記錄了輸出的值為的頻數．以下是甲、乙所作頻數統計表的部分資料．
甲的頻數統計表（部分乙的頻數統計表（部分）
當時，根據表中的資料，分別寫出甲、乙所程式設計序各自輸出的值為的頻率（用分數表示），並判斷兩位同學中哪一位所編寫程式符合演算法要求的可能性較大；
（ⅲ）按程式框圖正確編寫的程式執行3次，求輸出的值為2的次數的分布列及數學期望．
19．(本小題滿分12分) 如圖，在三稜柱中，側稜底面，，，分別是線段的中點，是線段的中點．
（ⅰ）在平面內，試作出過點與平面平行的直線，說明理由，並證明直線平面；
（ⅱ）設（ⅰ）中的直線交於點，交於點，求二面角的余弦值．
20．(本小題滿分13分) 已知橢圓：的兩個焦點分別為，且橢圓經過點．
（ⅰ）求橢圓的離心率；
（ⅱ）設過點的直線與橢圓交於、兩點，點是線段上的點，且，求點的軌跡方程．
21．(本小題滿分14分)已知函式，其中是實數．設，為該函式圖象上的兩點，且．
（ⅰ）指出函式的單調區間；
（ⅱ）若函式的圖象在點處的切線互相垂直，且，求的最小值；
（ⅲ）若函式的圖象在點處的切線重合，求的取值範圍．
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