2023年普通高等學校招生全國統一考試
數學（文史類）
第ⅰ卷（選擇題共60分）
試卷型別：a
參考公式：
三角函式的積化和差公式正稜臺、圓台的側面積公式
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．若直線相切，則a的值為
a．1，－1 b．2，－2 c．1 d．－1
2．複數的值是
a．－i b．i c．－1 d．1
3．不等式的解集是
a． b．
cd．4．函式上的最大值與最小值的和為3，則a=
a． b．2 c．4 d．
5．在（）內，使成立的x取值範圍為
a． b．
c． d．
6．設集合m=，則
a．m=n b．
c． d．
7．橢圓的乙個焦點是（0，2），那麼k=
a．－1 b．1 c． d．
8．乙個圓錐和乙個半球有公共底面，如果圓錐的體積恰好與半球的體積相等，那麼，這個圓錐軸截面頂角的余弦值是
a． b． c． d．
9． 已知則有
a． b．
c． d．
10．函式是單調函式的充要條件是
a．b≥0 b．b≤0 c．b>0 d．b<0
11．設，則二次曲線的離心率的取值範圍為
a． b．
c． d．
12．從正方體的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共有
a．8種 b．12種
c．16種 d．20種
第ⅱ卷（非選擇題共90分）
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.
13．據新華社2023年3月12日電，2023年到2000
年間，我國農村人均居住面積如圖所示，其中，
從年到年的五年間增長最快.
14．函式圖象與其反函式圖
象的交點座標為
15．的展開式中x3項的係數是
16．對於項點在原點的拋物線，給出下列條件：
①焦點在y軸上 ②焦點在x軸上；
③拋物線上橫座標為1的點到焦點的距離等於6；
④拋物線的通徑的長為5；
⑤由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足座標為（2，1）.
能使這拋物線方程為的條件是要求填寫合適條件的序號）
三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17．（本小題滿分12分）
如圖，某地一天從6時至14時的溫度變化曲線近似滿足函式.
（ⅰ）求這段時間的最大溫差；
（ⅱ）寫出這段曲線的函式解析式.
18．（本小題滿分12分）
甲、乙兩物體分別從相距70m的兩處同時相向運動.甲第1分鐘走2m，以後每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m.
（ⅰ）甲、乙開始運動後幾分鐘相遇？
（ⅱ）如果甲、乙到達對方起點後立即折返，甲繼續每分鐘比前1分鐘多走1m，乙繼續每分鐘走5m，那麼開始運動幾分鐘後第二次相遇？
19．（本小題滿分12分）
四稜錐p—abcd的底面是邊長為a的正方形，pb⊥面abcd.
（ⅰ）若麵pad與面abcd所成的二面角為60°，求這個四稜錐的體積；
（ⅱ）證明無論四稜錐的高怎樣變化，面pad與面pcd所成的二面角恆大於90°
20．（本小題滿分12分）
設函式（ⅰ）判斷函式的奇偶數；
（ⅱ）求函式的最小值.
21．（本小題滿分14分）
已知點p到兩個定點m（－1，0）、n（1，0）距離的比為，點n到直線pm的距離為1.求直線pn的方程.
22．（本小題滿分12分，附加題滿分4分）
（ⅰ）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖1，圖2），要求用其中一塊剪拼成乙個正三稜錐模型，另一塊剪拼成乙個正三稜柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請設計一種剪拼方法，分別用虛線標示在圖1、圖2中，並作簡要說明；
（ⅱ）試比較你剪拼的正三稜錐與正三稜柱的體積的大小；
（ⅲ）（本小題為附加題，如果解答正確，加4分，但全卷總分不超過150分.）
如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪拼成乙個直三稜柱模型，使它的全面積與給出的三角形的面積相等，請設計一種剪拼方法，用虛線標示在圖3中，並作簡要說明.
數學試題（文史類）參考解答及評分標準
說明： 一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，並給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則.
二、對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果後繼部分的解答末改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定後繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果後繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.
三、解答右端所註分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數.
四、只給整數分數.選擇題和填空題不給中間分.
a卷選擇題答案：
一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算.每小題5分，滿分60分.
1．d 2．c 3．d 4．b 5．c 6．b
7．b 8．c 9．d 10．a 11．d 12．b
二、填空題：本題考查基本知識和基本運算.每小題4分，滿分16分.
13．1995 2000 14．（0，0），（1，1） 15．1 008 16．②，⑤
三、解答題
17．本小題主要考查正弦函式的基本概念、基本性質等基礎知識，考查讀圖識圖能力和基本的運算技能.滿分12分.
解：（ⅰ）由圖示，這段時間的最大溫差是
30－10=202分
（ⅱ）圖中從6時到14時的圖象是函式的半個週期的圖象，
5分由圖示， …………7分
這時將 ………10分
綜上，所求的解析式為 ………12分
18．本小題主要考查等差數列求和等知識，以及分析和解決問題的能力.滿分12分.
解：（ⅰ）設n分鐘後第1次相遇，依題意，有
3分 整理得
解得 （捨去）.
第1次相遇是在開始運動後7分鐘. …………6分
（ⅱ）設n分鐘後第2次相遇，依題意，有
9分 整理得
解得（捨去）.
第2次相遇是在開始運動後15分鐘. ………12分
19．本小題考查線面關係和二面角的概念，以及空間想象能力和邏輯推理能力.滿分12分.
（ⅰ）解：面abcd
∴ba是pa在面abcd上的射影.又da⊥ab，
∴pa⊥da，
∴∠pab是面pad與面abcd所成的二面角的平面角，
∠pab=603分
而pb是四稜錐p—abcd的高，pb=ab·tg60°=a,
. …………6分
（ⅱ）證：不論稜錐的高怎樣變化，稜錐側面pad與pcd恒為全等三角形.
作ae⊥dp，垂足為e，鏈結ec，則△ade≌△cde，
是面pad與面pcd所成的二面角的平面角.
…………8分
設ac與db相交於點o，鏈結eo，則eo⊥ac，
10分在
所以，面pad與面pcd所成的二面角恆大於90°. ………12分
20．本小題主要考查函式的概念、函式的奇偶性和最小值等基礎知識，考查運算能力的邏輯思維能力.滿分12分.
解：（ⅰ）
由於故既不是奇函式，也不是偶函式. …………4分
6分由於上的最小值為內的最小值為…10分
故函式內的最小值為 ………12分
21．本小題主要考查直線方程、點到直線的距離等基礎知識，以及運算能力.滿分14分.
解：設點p的座標為（x,y），由題設有
即整理得4分
因為點n到pm的距離為1，|mn|=2，
所以，直線pm的方程為 ②………8分
將②式代入①式整理得
解得.代入②式得點p的座標為
12分 直線pn的方程為. ………14分
22．本小題主要考查空間想象能力、動手操作能力、**能力和靈活運用所學知識解決現實問題的能力.滿分12分,附加題4分.
解：（i）如圖1，沿正三角形三邊中點連線折起，可拼得乙個正三稜錐. ………4分
如圖2，正三角形三個角上剪出三個相同的四邊形，其較長的一組鄰邊邊長為三角形邊長的，有一組對角為直角.餘下部分按虛線折起，可成為乙個缺上底的正三稜柱，而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成這個正三稜柱的上底. ………8分
（ⅱ）依上面剪拼的方法，有v柱》v錐. ………9分
推理如下：
設給出正三角形紙片的邊長為2，那麼，正三稜錐與正三稜柱的底面都是邊長為1的正三角形，其面積為現在計算它們的高：
所以，v柱》v錐. ………12分
（ⅲ）（附加題，滿分4分）
如圖3，分別鏈結三角形的內心與各頂點，得到三條線段，再以這三條線段的中點為頂點作三角形.以新作的三角形為直三稜柱的底面，過新三角形的三個頂點向原三角形三邊作垂線，沿六條垂線剪下三個四邊形，可以拼接成直三稜柱的上底，餘下部分按虛線折起，成為乙個缺上底的直三稜柱，即可得到直三稜柱模型.
注：考生如有其他的剪拼方法，可比照本標準評分.-
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