2023年普通高等學校招生全國統一考試（天津卷）
數學（理工類）
本試卷分第i卷（選擇題）和第ii卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘. 第1卷1至2頁，第ii卷3至10頁。考試結束後，將本試卷和答題卡一併交回.
祝各位考考試順利！
第ⅰ卷（選擇題共50分）
注意事項：
1．答題前，考生務必將自己的姓名、准考證號、科目塗寫在答題卡上，並在規定位置貼上考試用條形碼.
2．每小題選出答案後，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑. 如需改動，
用橡皮擦擦乾淨後，再選塗其它答案標號。答在試卷上的無效.
3．本卷共10小題，每小題5分，共50分.
參考公式：
·如果事件a、b互斥，那麼如果事件a在一次試驗中發生的概率是p，那
p（a+b）=p（a）+p（b） 麼n次獨立重複試驗中恰好發生k次的概率
·如果事件a、b相互獨立，那麼
p（a·b）=p（a）·p（b
一．選擇題（本大題共10個小題，每小題5分，滿分50分。在每小題給出的四個選項中只有乙個正確答案）
1．是虛數單位
（a） （b） （c） （d）
2．如果雙曲線的兩個焦點分別為、，一條漸近線方程為，那麼
它的兩條準線間的距離是
（ab）4 （c）2d）1
3．設變數、滿足約束條件，則目標函式的最小值為
（a）2b）3 （c）4d）9
4．設集合，，那麼「」是「」的
（a）充分而不必要條件b）必要而不充分條件
（c）充分必要條件d）既不充分也不必要條件
（5）將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子裡，使得放入每個盒子裡
的球的個數不小於該盒子的編號，則不同的放球方法有
（a）10種 （b）20種 （c）36種 （d）52種
（6）設、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面.考查下列命題，其中正確的命
題是（a） （b）
（c） （d）
（7）已知數列、都是公差為1的等差數列，其首項分別為、，且，
．設（），則數列的前10項和等於
（a）55 （b）70 （c）85 （d）100
（8）已知函式（、為常數，，）在處取得
最小值，則函式是
（a）偶函式且它的圖象關於點對稱
（b）偶函式且它的圖象關於點對稱
（c）奇函式且它的圖象關於點對稱
（d）奇函式且它的圖象關於點對稱
（9）函式的定義域為開區間，導函式在內的圖象如圖所示，則函式
在開區間內有極小值點（ ）
（a）1個
（b）2個
（c）3個
（d）4個
（10）已知函式的圖象與函式（且）的圖象關於直線對稱，記．若在區間上是增函式，則實數的取值範圍是
（ab）（cd）
第ⅱ卷（非選擇題共100分）
二．填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）
（11）的二項展開式中的係數是用數學作答）．
（12）設向量與的夾角為，且，，則
（13）如圖，在正三稜柱中，．
若二面角的大小為，則點
到平面的距離為
（14）設直線與圓
相交於、兩點，且弦的長為，則
（15）某公司一年購買某種貨物400噸，每次都購買噸，運費為4萬元/次，一年的總儲存費用為萬元，要使一年的總運費與總儲存費用之和最小，則噸．
（16）設函式，點表示座標原點，點，若向量，是與的夾角，（其中），設，則
三．解答題（本題共6道大題，滿分76分）
（17）（本題滿分12分）
如圖，在中，，，．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）求的值.
（18）（本題滿分12分）
某射手進行射擊訓練，假設每次射擊擊中目標的概率為，且各次射擊的結果互不影響。
（ⅰ）求射手在3次射擊中，至少有兩次連續擊中目標的概率（用數字作答）；
（ⅱ）求射手第3次擊中目標時，恰好射擊了4次的概率（用數字作答）；
（ⅲ）設隨機變數表示射手第3次擊中目標時已射擊的次數，求的分布列．
（19）（本題滿分12分）
如圖，在五面體中，點是矩形的對角線的交點，面是等邊三角形，稜．
（ⅰ）證明//平面；
（ⅱ）設，
證明平面．
（20）（本題滿分12分）
已知函式，其中為引數，且．
（ⅰ）當時，判斷函式是否有極值；
（ⅱ）要使函式的極小值大於零，求引數的取值範圍；
（ⅲ）若對（ii）中所求的取值範圍內的任意引數，函式在區間內都是增函式，求實數的取值範圍．
（21）（本題滿分14分）
已知數列滿足，並且
（為非零引數， 2，3，4，…）．
（ⅰ）若、、成等比數列，求引數的值；
（ⅱ）當時，證明；
（ⅲ） 當時，證明.
22．（本題滿分14分）
如圖，以橢圓的中心為圓心，分別以和為半徑作大圓和小圓。過橢圓右焦點作垂直於軸的直線交大圓於第一象限內的點．鏈結交小圓於點．設直線是小圓的切線．
（ⅰ）證明，並求直線與軸
的交點的座標；
（ⅱ）設直線交橢圓於、兩點，證明．
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