2023年普通高等學校招生全國統一考試（四川卷）
數學（供理科考生使用）
參考公式：
如果事件互斥，那麼球的表面積公式
如果事件相互獨立，那麼其中表示球的半徑
球的體積公式
如果事件在一次試驗中發生的概率是，那麼
在次獨立重複試驗中事件恰好發生次的概率其中表示球的半徑
第一部分 （選擇題共60分）
注意事項：
1、選擇題必須使用2b鉛筆將答案標號塗在機讀卡上對應題目標號的位置上。
2、本部分共12小題，每小題5分，共60分。
一、選擇題：每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1、的展開式中的係數是（ ）
abcd、
[答案]d
[解析]二項式展開式的通項公式為=，令k=2，則
[點評]：高考二項展開式問題題型難度不大，要得到這部分分值，首先需要熟練掌握二項展開式的通項公式，其次需要強化考生的計算能力.
2、複數（ ）
abcd、
[答案]b.
[解析]
[點評]突出考查知識點，不需採用分母實數化等常規方法，分子直接展開就可以.
3、函式在處的極限是（ ）
a、不存在b、等於c、等於d、等於
[答案]a
[解析]分段函式在x=3處不是無限靠近同乙個值，故不存在極限.
[點評]對於分段函式，掌握好定義域的範圍是關鍵。
4、如圖，正方形的邊長為，延長至，使，連線、則（ ）
a、 b、 c、 d、
[答案]b
[點評]注意恒等式sin2α+cos2α=1的使用，需要用α的的範圍決定其正余弦值的正負情況.
5、函式的圖象可能是（ ）
[答案]c
[解析]採用排除法. 函式恆過（1,0），選項只有c符合，故選c.
[點評]函式大致影象問題，解決方法多樣，其中特殊值驗證、排除法比較常用，且簡單易用.
6、下列命題正確的是（ ）
a、若兩條直線和同乙個平面所成的角相等，則這兩條直線平行
b、若乙個平面內有三個點到另乙個平面的距離相等，則這兩個平面平行
c、若一條直線平行於兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行
d、若兩個平面都垂直於第三個平面，則這兩個平面平行
[答案]c
[解析]若兩條直線和同一平面所成角相等，這兩條直線可能平行，也可能為異面直線，也可能相交，所以a錯；乙個平面不在同一條直線的三點到另乙個平面的距離相等，則這兩個平面平行，故b錯；若兩個平面垂直同乙個平面兩平面可以平行，也可以垂直；故d錯；故選項c正確.
[點評]本題旨在考查立體幾何的線、面位置關係及線面的判定和性質，需要熟練掌握課本基礎知識的定義、定理及公式.
7、設、都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是（ ）
abcd、且
[答案]d
[解析]若使成立，則選項中只有d能保證，故選d.
[點評]本題考查的是向量相等條件模相等且方向相同.學習向量知識時需注意易考易錯零向量，其模為0且方向任意.
8、已知拋物線關於軸對稱，它的頂點在座標原點，並且經過點。若點到該拋物線焦點的距離為，則（ ）
abcd、
[答案]b
[解析]設拋物線方程為y2=2px(p>0),則焦點座標為（），準線方程為x=,
[點評]本題旨在考查拋物線的定義: |mf|=d,(m為拋物線上任意一點，f為拋物線的焦點，d為點m到準線的距離).
9、某公司生產甲、乙兩種桶裝產品。已知生產甲產品1桶需耗原料1千克、原料2千克；生產乙產品1桶需耗原料2千克，原料1千克。每桶甲產品的利潤是300元，每桶乙產品的利潤是400元。
公司在生產這兩種產品的計畫中，要求每天消耗、原料都不超過12千克。通過合理安排生產計畫，從每天生產的甲、乙兩種產品中，公司共可獲得的最大利潤是（ ）
a、1800元b、2400元c、2800元d、3100元
[答案]c
[解析]設公司每天生產甲種產品x桶，乙種產品y桶，公司共可獲得利潤為z元/天，則由已知，得 z=300x+400y
且畫可行域如圖所示，
目標函式z=300x+400y可變形為
y= 這是隨z變化的一族平行直線
解方程組即a（4,4）
[點評]解決線性規劃題目的常規步驟：一列（列出約束條件）、二畫（畫出可行域）、三作（作目標函式變形式的平行線）、四求（求出最優解）.
10、如圖，半徑為的半球的底面圓在平面內，過點作平面的垂線交半球面於點，過圓的直徑作平面成角的平面與半球面相交，所得交線上到平面的距離最大的點為，該交線上的一點滿足，則、兩點間的球面距離為（ ）
a、 bc、 d、
[答案]a
[解析] 以o為原點，分別以ob、oc、oa所在直線為x、y、z軸，
則a[點評]本題綜合性較強，考查知識點較為全面，題設很自然的把向量、立體幾何、三角函式等基礎知識結合到了一起.是一道知識點考查較為全面的好題.要做好本題需要有紮實的數學基本功.
11、方程中的，且互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有（ ）
a、60條 b、62條 c、71條 d、80條
[答案]b
[解析]方程變形得，若表示拋物線，則
所以，分b=-3,-2,1,2,3五種情況：
（1）若b=-3， ; （2）若b=3,
以上兩種情況下有9條重複，故共有16+7=23條；
同理當b=-2,或2時，共有23條； 當b=1時，共有16條.
綜上，共有23+23+16=62種
[點評]此題難度很大，若採用排列組合公式計算，很容易忽視重複的18條拋物線. 列舉法是解決排列、組合、概率等非常有效的辦法.要能熟練運用.
12、設函式，是公差為的等差數列，，則（ ）
abcd、
[答案]d
[解析]∵數列是公差為的等差數列，且
∴∴ 即得∴
[點評]本題難度較大，綜合性很強.突出考查了等差數列性質和三角函式性質的綜合使用，需考生加強知識系統、網路化學習. 另外，隱蔽性較強，需要考生具備一定的觀察能力.
第二部分 （非選擇題共90分）
注意事項：
（1）必須使用0.5公釐黑色簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區域內作答，作圖題可先用鉛筆繪出，確認後再用0.5公釐黑色簽字筆描清楚。答在試題卷上無效。
（2）本部分共10個小題，共90分。
二、填空題（本大題共4個小題，每小題4分，共16分。把答案填在答題紙的相應位置上。）
13、設全集，集合，，則_______。
[答案]
[解析]∵； ∴
[點評]本題難度較低，只要稍加注意就不會出現錯誤.
14、如圖，在正方體中，、分別是、的中點，則異面直線與所成角的大小是
[答案]90
[解析]方法一：連線d1m,易得dn⊥a1d1 ,dn⊥d1m,
所以，dn⊥平面a1md1，
又a1m平面a1md1，所以，dn⊥a1d1，故夾角為90
方法二：以d為原點，分別以da, dc, dd1為x, y, z軸，建立空間直角座標系d—xyz.設正方體邊長為2，則d（0,0,0），n（0,2,1），m（0,1,0）a1（2,0,2）
故， 所以，cos< = 0,故dn⊥d1m，所以夾角為90
[點評]異面直線夾角問題通常可以採用兩種途徑: 第一，把兩條異面直線平移到同一平面中借助三角形處理； 第二，建立空間直角座標系，利用向量夾角公式解決.
15、橢圓的左焦點為，直線與橢圓相交於點、，當的周長最大時，的面積是
[答案]
[解析]根據橢圓定義知：4a=12, 得a=3 , 又
[點評]本題考查對橢圓概念的掌握程度.突出展現高考前的複習要回歸課本的新課標理念.
16、記為不超過實數的最大整數，例如，，，。設為正整數，數列滿足，，現有下列命題：
①當時，數列的前3項依次為5,3,2；
②對數列都存在正整數，當時總有；
③當時，；
④對某個正整數，若，則。
其中的真命題有寫出所有真命題的編號）
[答案]①③④
[解析]若，根據
當n=1時，x2==3, 同理x3=, 故①對.
對於②③④可以採用特殊值列舉法：
當a=1時，x1=1, x2=1, x3=1, ……xn=1, …… 此時②③④均對.
當a=2時，x1=2, x2=1, x3=1, ……xn=1, …… 此時②③④均對
當a=3時，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2……xn=1, ……此時③④均對
綜上，真命題有 ①③④ .
[點評]此題難度較大，不容易尋找其解題的切入點，特殊值列舉是很有效的解決辦法.
三、解答題（本大題共6個小題，共74分。解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟。）
17、(本小題滿分12分)
某居民小區有兩個相互獨立的安全防範系統（簡稱系統）和，系統和在任意時刻發生故障的概率分別為和。
（ⅰ）若在任意時刻至少有乙個系統不發生故障的概率為，求的值；
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