2023年四川高考理科數學第21題試題分析
內江六中王鋒
2023年普通高考理科數學(四川卷)依然遵循《考試大綱》及《考試說明(四川卷)》要求，保持了近幾年的四川卷命題風格，在題型、題量、難度方面保持了相對穩定，立足現行教材，回歸數學本質，重視基礎知識、基本技能的考查，強調通性通法，注重能力立意，命題命制立足學科主幹知識，將知識、方法、能力的考查融為一體，通過適度聯絡與綜合等方式，在知識交匯處考查學生的數學思維方法和能力，同時試題在穩定中追求創新，有利於考查學生的數學素養與學習潛能，整個試卷布局合理，難度適中，有較好區分度，無偏題、怪題，有利於科學選撥人才，維護社會公平與穩定。下面就21題談一談個人的不成熟看法，有不妥之處還望各位批評指正！
一．試題呈現
21.（本小題14分）已知函式，其中。
（1）設是的導函式，討論的單調性；
（2）證明：存在，使得在區間內恆成立，且在區間內有唯一解。
本題主要考查導數的運算、導數在研究函式中的應用、函式的零點等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、創新意識，考查函式與方程、數形結合、分類與整合、化歸與轉化等數學思想。
二．試題評價
第21題在素材選擇、情景設定和設問方式上相比往年有所創新，和2023年最後一題類似，考查二階導數和分類討論，考查學生的**意識，應用意識和創新意識，對考生綜合與靈活運用所學數學知識、思想方法，進行獨立思考分析，創造性的解決問題有較高且合理的要求。
同時第21題對數學思維的靈活性、深刻性、創造性都有較高要求，具有一定的難度，解答這些問題，需要具有較強的分析問題、**問題和解決問題的能力。展示了數學學科的抽象性和嚴謹性，要求考生具有高層次的理性思維，考生解答時可以採用「聯絡幾何直觀—探索解題思路—提出合情猜想—構造輔助函式—結合估算精算—進行推理證明」的思路，整個解答過程與數學研究的過程基本一致，能較好地促進考生在數學學習的過程中掌握數學知識、**數學問題和發現數學規律。這些試題具有立意深遠、背景深刻、設問巧妙等特點，富含思維價值，體現了課程改革理念，是檢測考生理性思維廣度、深度和學習潛能的良好素材。
這樣的設計，對考生評價合理、科學，鼓勵積極、主動、**式的學習，有利於引導中學數學教學注重提高學生的思維能力、發展應用意識和創新意識，對全面深化課程改革、提高中學數學教學質量有十分積極的作用。
三．解題方法
解法一(ⅰ) 由已知，函式的定義域為，
，所以 ．
當時，在區間，上單調遞增，
在區間上單調遞減；
當時，在區間上單調遞增．
（說明：每個單調區間1分，共6分。若出現，扣1分）
(ⅱ) 由，解得．
令．則，．
故存在，使得．
令， ．
由知，函式在區間上單調遞增．
所以．即．
當時，有，．
由(ⅰ)知，在區間上單調遞增，
故當時，，從而；
當時，，從而．
所以，當時，．
綜上所述，存在，使得在區間內恆成立, 且在區間內有唯一解．
解法二(ⅱ) 令，
則在區間內恆成立, 且在區間內有唯一解當且僅當在區間內恆成立, 且在區間內有唯一解．
．由於且, 故時，．
當時, ,單調遞減．
當時, ,單調遞增．
從而, 當時,在達到最小值．此時，．令，
則，．從而存在使得．
令．則當時，且．
當時，單調遞減，從而．
當時，單調遞增，從而．
綜上所述，存在，使得在區間內恆成立, 且在區間內有唯一解．
解法三(ⅱ) 由(ⅰ)知，在區間上單調遞增．
，當趨向於正無窮大時，的函式值也趨向於正無窮大．
即存在，使得，且在單調遞減，在單調遞增．
且滿足，即時，取得最小值為．令，
則，．故存在，使得．
所以在區間內有解．
此時相應的值為，其中．
由知，函式在區間上單調遞增．
所以．即．
綜上所述，存在，使得的最小值為0．
此時在區間內恆成立, 且在區間內有唯一解．
解法四(ⅱ) 前同解法三．
．又，所以．
令，易得，，
所以在區間內有解．
此時相應的值為，其中．
由知，函式在區間上單調遞增．
所以．即．
綜上所述，存在，使得的最小值為0．
此時在區間內恆成立, 且在區間內有唯一解．
解法五(ⅱ) 由(ⅰ)得在內單調遞增。且
，。由零點存在性定理得存在唯一使得①。
所以在上單調遞減，上單調遞增。
所以滿足在區間內有唯一解只需滿足即可。
，將①帶入化簡得：
當時，此時①變形為，在上有解。令
所以在上單調遞減。不滿足。
當時，此時①變形為在上有解。
不妨設所以在上單調遞增。。所以在上有解。
所以結論得證。
四．學生錯誤
1.求導不熟，比如乘法法則、分式求導；
2.運算能力不強，對函式式亂變形、一元二次方程求根公式亂寫、亂約分；
3.對引數的處理能力不夠，分類討論的思想還不到位；
4.研究函式時沒有注意函式的定義域；
5.多個同類單調區間亂表達；
6.第二個小題基本沒有做，入手較難。
五．教學建議
第21題第1小問主要考查分類與整合的數學思想與方法。它是考試的必考點，同時也是學生解題的難點和易錯點。就其原因，根本是沒有想通為什麼需要討論！
所以我們在平時的教學中，注意學生基本功的訓練和過手，要經常進行不帶引數和帶引數的同乙個問題的切換！讓學生深深地體會到分類討論是在「自然而然」中誕生的！而不是很勉強的！
能避免則避免！有時是「無奈之舉」.就此題而言，討論「單調性」可化歸為「解不等式」，最終是解「一元二次含參不等式」。
走啊走，走到「」這一關過不到了！非討論不可！一切都是在自然而然中悄悄發生！
第21題第2小問是為優等生準備的「大餐」， 在處理②時需要利用到主元轉換（因式分解功底強大的則無需），後續操作則只需注意變數的取值範圍即可，此題需要考生強大的計算和心理承受能力，能明確自身目的所在，不至於在多重代換後迷失目標而功虧一簣。一般的學生是無福消受！所以在平時教學中對班上的優等生多加強一些思維訓練，多給他們思考的時間、空間。
針對這樣的壓軸題，要有心裡準備，集中精力盡量去完成，爭取多得分。
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