2023年普通高等學校招生全國統一考試（全國卷）
數學（理工農醫類）
本試卷分第ⅰ卷（選擇題）和第ⅱ卷（非選擇題）兩部分。第ⅰ卷1至2頁，第ⅱ卷3至10頁。考試結束後，將本試卷和答題卡一併交回。
第ⅰ卷（選擇題共60分）
一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的
1．已知，0），，則
（ab） （c） （d）
2．圓錐曲線的準線方程是
（a） （b）（c） （d）
3．設函式，若，則的取值範圍是
（a）（，1b）（，）
（c）（，）（0d）（，）（1，）
4．函式的最大值為
（a） （b） （c） （d）2
5．已知圓c：（）及直線：，當直線被c截得的弦長為時，則
（a） （b） （c） （d）
6．已知圓錐的底面半徑為r，高為3r，在它的所有內接圓柱中，全面積的最大值是（ ）
（a） （b） （c） （d）
7．已知方程的四個根組成乙個首項為的的等差數列，則
（a）1 （b） （c） （d）
8．已知雙曲線中心在原點且乙個焦點為f（，0），直線與其相交於m、n兩點，mn中點的橫座標為，則此雙曲線的方程是
（a） （b） （c） （d）
9．函式，的反函式
（a），1] （b），1]
（c），1] （d） ，1]
10．已知長方形的四個頂點a（0，0），b（2，0），c（2，1）和d（0，1），一質點從ab的中點沿與ab的夾角的方向射到bc上的點後，依次反射到cd、da和ab上的點、和（入射角等於反射角），設的座標為（，0），若，則tg的取值範圍是
（a）（，1） （b）（，） （c）（，） （d）（，）
11 （a）3b） （c） （d）6
12．乙個四面體的所有稜長都為，四個頂點在同一球面上，則些球的表面積為（ ）
（a） （b） （c） （d）
二.填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。把答案填在題中橫線上。
13．的展開式中係數是
14．使成立的的取值範圍是
15．如圖，乙個地區分為5個行政區域，現給地圖著色，要求相鄰地區不得使用同一顏色，現有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種。（以數字作答）
16．下列5個正方體圖形中，是正方體的一條對角線，點m、n、p分別為其所在稜的中點，能得出面mnp的圖形的序號是寫出所有符合要求的圖形序號）
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應寫出文字說明，證明過程或或演算步驟
17．（本小題滿分12分）
已知複數的輻角為，且是和的等比中項，求
18．（本小題滿分12分）
如圖，在直三稜柱中，底面是等腰直角三角形，，側稜，d、e分別是與的中點，點e在平面abd上的射影是△abd的重心g
（i） 求與平面abd所成角的大小（結果用反三角函式值表示）
（ii） 求點到平面aed的距離
19．（本小題滿分12分）
已知，設
p：函式在r上單調遞減
q：不等式的解集為r
如果p和q有且僅有乙個正確，求的取值範圍
20．（本小題滿分12分）
在某海濱城市附近海面有一颱風，據監測，當前颱風中心位於城市o（如圖）的東偏南）方向300km的海面p處，並以20km/h的速度向西偏北方向移動，颱風侵襲的範圍為圓形區域，當前半徑為60km，並以10km/h的速度不斷增大，問幾小時後該城市開始受到颱風的侵襲？
21．（本小題滿分14分）
已知常數，在矩形abcd中，，，o為ab的中點，點e、f、g分別在bc、cd、da上移動，且，p為ge與of的交點（如圖），問是否存在兩個定點，使p到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的座標及此定值；若不存在，請說明理由。
22．（本小題滿分12分，附加題4 分）
（i）設是集合且}中所有的數從小到大排列成的數列，即，，，，，，…
將數列各項按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數表：
35 6
9 10 12
…………
⑴寫出這個三角形數表的第四行、第五行各數；
⑵求（ii）（本小題為附加題，如果解答正確，加4 分，但全卷總分不超過150分）
設是集合，且中所有的數從小到大排列成的數列，已知，求.
2023年普通高等學校招生全國統一考試
數學(理工農醫類)答案
一、選擇題
1．d 2．c 3．d 4．a 5．c 6．b 7．c 8．d 9．d 10．c 11．b 12．a
二、填空題
13． 14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤
三、解答題：
17． 解：設，則複數由題設
18．（ⅰ）解：鏈結bg，則bg是be在abd的射影，即∠ebg是a1b與平面abd所成的角.
設f為ab中點，鏈結ef、fc，
（ⅱ）解：
19．解：函式在r上單調遞減
不等式20．解：如圖建立座標係以o為原點，正東方向為x軸正向.
在時刻：（1）颱風中心p（）的座標為
此時颱風侵襲的區域是
其中若在t時刻城市o受到颱風的侵襲，則有
即答：12小時後該城市開始受到颱風的侵襲.
21．根據題設條件，首先求出點p座標滿足的方程，據此再判斷是否存在的兩定點，使得點p到兩點距離的和為定值.
按題意有a（－2，0），b（2，0），c（2，4a），d（－2，4a）設
由此有e（2，4ak），f（2－4k，4a），g（－2，4a－4ak）直線of的方程為：①
直線ge的方程為：②
從①，②消去引數k，得點p（x,y）座標滿足方程
整理得當時，點p的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點.
當時，點p軌跡為橢圓的一部分，點p到該橢圓焦點的距離的和為定長。
當時，點p到橢圓兩個焦點（的距離之和為定值。
當時，點p 到橢圓兩個焦點（0， 的距離之和為定值2.
22．（本小題滿分12分，附加題4分）
（ⅰ）解：（i）第四行17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48
（i i）解：設，只須確定正整數
數列中小於的項構成的子集為
其元素個數為滿足等式的最大整數為14，所以取
因為100－
（ⅱ）解：令
因現在求m的元素個數：
其元素個數為：
某元素個數為
某元素個數為
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