高考數學二輪複習資料引數方程、極座標
［本章重點與難點］
重點：會運用直線和圓錐曲線的引數方程，解決有關計算和證明問題；會運用引數方程求軌跡的方程；能運用簡單曲線的極座標方程和圓錐曲線的極座標方程解決有關的計算和證明問題；並能根據已知條件求某些曲線的極座標方程；
難點：引數方程與普通方程的互化與極座標直角互化時，方程的等價問題的討論是本章的難點；
[本章知識點與考試要求］
1、 知識點歸納
（1） 引數方程的定義
在給定的座標系中，如果曲線上任意一點的座標x，y都是某個變數t的函式。
① 並且對於t的每乙個允許值，由方程組①所確定的點
m（x，y）都在這條曲線上，那麼方程組①就叫做這條曲線的引數方程，聯絡x，y之間關係的變數叫做參變數，簡稱引數，引數方程中的引數可以是有物理、幾何意義的變數，也可以是沒有明顯意義的變數。
（2） 引數方程與普通方程的互化
曲線的引數方程和普通方程，是曲線方程的不同形式，它們都是表示曲線上的點座標之間的關係。一般情況下，我們可以消去引數方程中的引數，得出x，y之間關係的普通方程。也可以選擇乙個引數，將普通方程化為引數方程的形式。
在互化中，必須根據曲線引數的定義，保持互化前後的等價性，如果在互化中某個變數範圍擴大了，互化後，必須註明，將擴大的部分去掉；如果減少了，必須註明，將減少部分補上，另外，由於選擇的引數方程不同，同一曲線的引數方程也不一樣，因此，一般曲線的引數方程不唯一，同時，不是所有的引數方程都能用初等方法化為普通方程的。
（3） 注意理解引數方法的實質
學好引數法（引數觀點）的關鍵在於深刻領會這一思維方法的實質，掌握引數變與不變的辯證關係。既要善於運用引數刻劃運動變化的過程，又要在引入引數之後，把引數看作暫時不變的已知量，運用引數根據題意求出引數與其變數之間的內在聯絡，發揮引數的媒介作用，這一思想既能體現在軌跡問題中，又能反映於曲線系和各處不同形態的論證問題與計算問題之中。
（4） 常見曲線的引數方程
⑴直線1 直線的標準引數方程即過定點m0（x0。y0）傾斜角為α的直線 l 的引數方程的標準形式為：（t為引數）
②t的幾何意義：即t為有向線段的數量；並注意t 的正負值。
③引數t 的幾何意義中如下常用結論：
若m1，m2為t上任意兩點：m1，m2對應t的值分別為t1，t2，則|m1m2|=|t1-t2|
若m0為m1m2的中點，則有t1+t2=0
弦m1m2的中點為m，則m0m=tm=
④直線的引數方程的一般式（t為引數）具有上述幾何意義只有當a2+b2=1且b＞0時，（若b＜0，方程也具有上述幾何意義）；當a2+b2≠0，且b＞0時，引數方程同樣具有上述幾何意義；
⑵圓① 圓 x2 + y2 = r2 的引數方程為
（θ為引數）
② 圓 （ x - a）2 + （ y - b）2 = r 2的引數方程為：
（θ為引數）
⑶橢圓1 中心在原點，對稱軸為座標軸的橢圓b2x2+a2y2=a2b2的引數方程為（θ為引數）
2 中心在點（x0，y0），對稱軸分別平行於座標軸的橢圓
b2（x-x0）2+a2（y-y0）2=a2b2的引數方程為：（θ為引數）
⑷雙曲線
1 中心在原點，對稱軸為座標軸的雙曲線b2x2-a2y2=a2b2的引數方程為：
（θ為引數）
2 中心在點（x0，y0），對稱軸分別平行於座標軸的雙曲線
b2（x-x0）2 - a2（y-y0）2=a2b2的引數方程為：（θ為引數）
⑸拋物線
拋物線y2=2px（p＞0）的引數方程為：（t為引數）
⑹極座標系與點的極座標
極座標系和直線座標系都是常用的座標系，極座標系也是一種平面點集與實數對之間的對映，但不是一一對映，而是一對多的對應，與直角座標系對比，有它特殊的優越性，也有其侷限性，對於極座標系首先要弄清從點到陣列（即點的極座標）和從陣列到點之間的對應法則，還應注意極座標（ρ，θ）和（（-1）nρ，θ+nπ），（n∈z）表示的是同一點，當ρ＜0時，規定點m（ρ，θ）的位置在極角θ的終邊的反向延長線上，且
|om|=|ρ|
⑺極座標系中的兩點距離公式
如果p1（ρ1，θ1）、p2（ρ2，θ2）則|p1p2|=
⑻極座標和直角座標的互化
若以直角座標系的原點為極點，x軸的正方向為極軸，兩座標係取相同的長度單位，設點m的直角座標為（x，y），極座標為（ρ，θ），則有如下關係：
在由直角座標化為極座標時，注意三角方程的解的取捨原則，即必須考慮所在的象限，所求的極角必須與點所在的象限一致。
⑼常見曲線的極座標方程
極座標系中的方程與曲線之間的聯絡和直角座標系一樣，還應該注意方程f（ρ，θ）=0與f[（-1）nρ，θπ]=0，n∈z表示同一曲線。
在極座標系中，稱方程f（ρ，θ）=0是曲線c的極座標方程，如果以這個方程的每乙個解為座標的點都是曲線c上的點，而且c上每乙個點的座標中至少有乙個座標能夠滿足這個方程。
直角座標系中研究曲線與方程的方法也適用於極座標系，注意這些方法在極座標系中的應用。
1 直線θ=α，（ρ∈r）
ρcosθ=a（ρ≥0）
ρsinθ（ρ≥0）
（ρ≥0）
2 圓ρ= r（極點為圓心，r為半徑）
ρ=2rcosθ（（r，0）為圓心，r為半徑）
ρ2+ρ12-2ρρ1 cos（θ-θ1）=r2（（ρ1，θ1）為圓心，r為半徑）
3 圓錐曲線的統一極座標方程
，當0＜e＜1時，方程表示橢圓；定點f是它的左焦點，定直線是它的左準線；當e=1時，方程表示開口向右的拋物線；e＞1時，方程只表示雙曲線右支，定點f是它的右焦點，定直線是它的右準線，如果允許ρ＜0，方程就表示整個雙曲線。
2、 考試要求
掌握直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線及圓的漸開線的引數方程，並了解其引數的幾何意義和物理意義；引數方程和普通方程的互化；掌握極座標平面內點與有序數對的對應關係，直線、圓、圓錐曲線、等速螺線的極座標方程；極座標與直角座標的關係，點和方程的極座標與直角座標的互化。
[命題趨向與複習建議]
解析幾何是初等數學與高等數學的紐帶，它本身側重於數形結合，形象思維，本章內容更綜合了代數、三角、平面幾何等知識，因此，它是高考歷來的重要內容之一，從近幾年的高考試題分析可知，解析幾何約佔22%，僅次於代數，引數方程與極座標在這部分內容中又經常以選擇題、填空題或做為工具的使用而出現。
解析幾何題多數以直線和二次曲線為背景，考查直線與二次曲線或二次曲線與二次曲線相交的問題。形式以計算題、軌跡題較多，證明題較少；從運用的知識來看，一般以直線與二次曲線的基礎知識和二次函式的理論為主；從思維方法來分析，一是數形轉化，二是方程觀點（用方程表示曲線），三是引數觀點；從考生失分的原因來看，一是運算不過關，得不到正確的答案，二是對數學思維方法不理解或理解不透徹，以致找不到正確的解題思路。事實上有部分高考題如果能轉化為引數方法（或用極座標方法）去解決，往往會收到事半功倍的效果（如2023年的高考壓軸題）。
[數學思想方法]
1、 轉化的數學思想方法
由於普通方程和引數方程都是曲線方程的表示形式，普通方程對判斷曲線型別、形狀、位置都較明顯；而引數方程表示曲線上動點的兩個座標之間聯絡明顯，且引數方程中引數的幾何意義和物理意義較明顯，便於應用。由於這兩種不甘落後曲線方程各有利弊，故兩種形式的曲線方程之間的轉化是實際問題的需要。
因為極座標系具有直角座標第所沒有的功效，如圓錐曲線方程，就可以統一成一種形式。因而這兩種座標系之間的轉化，就要看問題的需要而進行。
由此可見，方程兩種形式的轉化和兩種座標系的轉化是本章轉化思想的主要內容和基本特點。
例1、 求f（α，β）=（cosα-3tgβ）2+（sinα-3ctgβ）2的
最小值。
分析：用純代數法求解難以完成，應設法將問題轉化。經觀察，並聯絡問題的幾何意義，不難發現函式f（α，β）是兩動點p（cosα， sinα）、q（3tgβ，3ctgβ）之間的距離的平方。
於是問題就轉化為求p，q兩點之間的最短距離，又因為
（cosα）2+（sinα）2=2且（3tgβ）（3ctgβ）=9，故動點p 在圓x2+y2=2上，而動點q 在雙曲線xy = 9上，問題又進一步明確為「求圓x2+y2=2和在雙曲線xy = 9間的距離」。
解：由分析知圓x2+y2=2上的動點p（cosα， sinα）與雙曲線xy = 9上動點q（3tgβ，3ctgβ） 的最短距離的平方為| pq|2；而由圖知只需考慮q 點在雙曲線xy = 9位於第一象限的那一支。設q（x，y）為xy=9（x＞0）上任一點，易見點p應在圓心o與q的連線上，因為由三角形兩邊和大於第三邊知，對p、 p′而言有
op′+ qp′＞op+pq；qp′＞qp於是可先求|oq|的最小值，因為|oq|2 = x2 + y2 ≥2xy =2×9=18。故|oq|≥，且當x=y=3時|oq|=。所以當q點在（3，3）時，|pq|有最小值-，有最小值（-）2 = 8，也即f（α，β）最小值8。
點評：在解題中恰當地轉化命題利用變換的思想去尋求解題思路，往往可以使問題的求解化難為易；對此我們可以從題設出發，通過觀察、聯想、模擬、模擬等思維活動，給「純數學問題」中的數量關係或空間形式以適當的實際意義，構造問題相應的現實原型，從而使總題獲解。
2、 數形結合的思想方法
數形結合的方法是貫穿整個解析幾何中的基本方法，在本章中無論建立曲線的引數方程，還是利用引數的幾何意義研究有關曲線的性質，都要注意結合圖形，利用有關曲線的性質。因此，充分利用圖形的直觀性，尋找合理簡捷的運算步驟是順利解決這些問題的重要方法。
例2、 已知點m、n滿足 y =（r＞0），直線l：x = r +2a
（2a＜）；m、n與直線l的距離|md|、|nq|滿足條件
。求證：|am|+|an|=|ab|
分析：（如圖）此題需證|am|+|an| = r。由題意知，|am|=|md|，|an|=|nq|，且|at|=2a，所以m、n在拋物線y2=4ax上，只要求出|md|、|nq|，即可求得|am|與|an|，從而證明等式成立。
證法1、如圖所示，取線段ta的中點o為座標原點，以有向直線ta為x軸，建立直角座標系， 設m、n的橫座標為x1、x2，
半圓方程為
例3、［解題規律與範例精講］
例１ 和方程xy=1表示同一曲線的引數方程是（ c ）
（ab）（）
（c）（） （d）（為引數）
解：在方程中，a、b、c、d四個引數方程化為普通方程均是xy=1的形式。但在a中，，
∴（a）表示的曲線是xy=1在第一象限內的部分；
在（b）中當時，
∴（b）表示的曲線分別是xy=1在第一，第三象限內的一部分。
高考數學二輪複習計畫
一 指導思想 高三第一輪複習一般以知識 技能 方法的逐點掃瞄和梳理為主，通過第一輪複習，學生大都能掌握基本概念的性質 定理及其一般應用，但知識較為零散，綜合應用存在較大的問題。第二輪複習的首要任務是把整個高中基礎知識有機地結合在一起，強化數學的學科特點，同時第二輪複習承上啟下，是促進知識靈活運用的關...
總結2019高考數學二輪複習直線與方程知識點
數學作為人類思維的表達形式，反映了人們積極進取的意志 縝密周詳的邏輯推理及對完美境界的追求。查字典數學網高考頻道準備了直線與方程知識點，希望你喜歡。一 直線與方程 1 直線的傾斜角定義 x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時，我們規定它的傾斜角為0度。因此...
2023年高考數學二輪複習策略
一.高考複習備考是乙個系統工程 第一輪複習 對高中數學知識 高考知識認知的第一次飛躍 關鍵詞基礎知識過關 目標 構建知識網路，掌握通性通法，夯實基礎，構建體系，關注綜合，提高運算能力，完成對50 的選擇填空題 一般指選擇題的前8道 填空題的前2道 的正確快速解答，50 的基礎解答題 一般指前兩道解答...