2014數學高考瘋狂時刻引領狀元之路：
幾何證明選講
1.如圖,已知ap切圓o於點p,ac交圓o於b,c兩點,點m是bc的中點,求證:∠oam+∠apm=.
(第1題)
2.如圖,∠paq是直角,圓o與ap相切於點t,與aq相交於b,c兩點.求證:bt平分∠oba.
(第2題)
3.如圖,在圓o中,直徑ab與弦cd垂直,垂足為e,ef⊥db,垂足為f,若ab=6,ae=1,求df·db的值.
(第3題)
4.如圖,過點p的直線與圓o相交於a,b兩點.若pa=1,ab=2,po=3,求圓o的半徑.
(第4題)
5.如圖,在rt△abc中,∠acb=90°,ac=3,bc=4,以ac為直徑的圓交ab於點d,求bd,cd的長.
(第5題)
6.如圖,已知ad=5,db=8,ao=3,求圓o的半徑oc的長.
(第6題)
7. 如圖,已知圓a,圓b都經過點c,bc是圓a的切線,圓b交ab於點d,連線cd並延長、交圓a於點e,連線ae.求證:de·dc=2ad·db.
(第7題)
8. 如圖,ab是☉o的一條切線,切點為b,直線ae,cd,ce都是☉o的割線,已知ac=ab.求證:
(1) ad·ae=ac2;
(2) fg∥ac.
(第8題)
9. 如圖,已知☉o1與☉o2相交於a,b兩點,過點a作☉o1的切線、交☉o2於點c,過點b作兩圓的割線,分別交☉o1,☉o2於點d,e,且de與ac相交於點p.
(1) 求證:ad∥ec;
(2) 若ad是☉o2的切線,且pa=6,pc=2,bd=9,求ad的長.
(第9題)
10.如圖,ad是☉o的直徑,ab是☉o的切線,m,n是圓上兩點,直線mn交ad的延長線於點c,交☉o的切線於點b,且bm=mn=nc=1,求ab的長和☉o的半徑.
(第10題)
【高考押題】
11. 如圖,已知ab,cd是圓o的兩條平行弦,過點a引圓o的切線ep與dc的延長線交於點p,f為上的一點,弦fa,fb分別與cd交於點g,h.
(1) 求證:gp·gh=gc·gd;
(2) 若ab=af=3gh=9,dh=6,求pa的長.
(第11題)
第4講幾何證明選講
1. 連線op,om,由ap切圓o於點p,m是bc的中點,得∠apo=∠amo=,
故a,m,o,p四點共圓,
則∠oam+∠apm=∠opm+∠apm=.
2. (第2題)
如圖,連線ot,因為at是切線,所以ot⊥ap.又因為∠paq是直角,即aq⊥ap,所以ab∥ot,
所以∠tba=∠bto.
又ot=ob,所以∠otb=∠obt,
所以∠obt=∠tba,
即bt平分∠oba.
3. 連線ad,由 ade∽△bed,
得=,所以de2=ae·be=5.
又 bde∽△edf,所以=,所以de2=bd·df=5,
所以df·db=5.
(第4題)
4. 如圖,設po交圓o於點c,d,設圓的半徑為r,由割線定理知pa·pb=pc·pd,
即1×(1+2)=(3-r) (3+r),所以r=.
5. 因為∠acb=90°,所以ab=5,又ac為直徑,
所以∠adc=90°,所以cd·ab=ac·bc,
即cd===.
又bc2=bd·ab,所以bd==.
6. 取bd的中點m,連線om,則om⊥bd.因為bd=8,所以dm=mb=4,am=5+4=9,所以om2=ao2-am2=90-81=9,所以半徑ob====5,即oc=5.
7. (第7題)
由已知,ac⊥bc,因為∠acd+∠bcd=90°,
ac=ae,
bc=bd,
所以∠acd=∠e,∠bcd=∠bdc.
又∠ade=∠bdc,所以∠e+∠ade=90°,
所以ae⊥ab.
延長db交☉b於點f,連線fc,則df=2db,∠dcf=90°,
所以∠acd=∠f,所以∠e=∠f,
所以rt ade∽rt cdf,
所以=,所以de·dc=ad·df.
又df=2db,所以de·dc=2ad·db.
8. (1) 因為ab為切線,ae為割線,
所以ab2=ad·ae.
又因為ab=ac,
所以ad·ae=ac2.
(2) 由(1)有=,
又因為∠eac=∠dac,
所以 adc∽△ace,
所以∠adc=∠ace.
又因為∠adc=∠egf,所以∠egf=∠ace,
所以gf∥ac.
9. (1) 因為ac是☉o1的切線,所以∠bac=∠d.
又因為∠bac=∠e,所以∠d=∠e,所以ad∥ec.
(2) 設bp=x,pe=y,因為pa=6,pc=2,
所以xy=12. ①
因為ad∥ec,所以=,即=. ②
由①②解得
所以de=9+x+y=16.
因為ad是☉o2的切線,
所以ad2=db·de=9×16,所以ad=12.
10. 因為ad是☉o的直徑,ab是☉o的切線,
直線bmn是☉o的割線,所以∠bac=90°,
ab2=bm·bn.
因為bm=mn=nc=1,所以2bm2=ab2,
所以ab=.
因為ab2+ac2=bc2,所以2+ac2=9,ac=.
因為cn·cm=cd·ca,所以2=cd·,所以cd=.所以☉o的半徑為(ca-cd)=.
11. (1) 因為pe與圓o切於點a,
所以∠eab=∠bfa.
因為ab∥cd,
所以∠eab=∠apd.
在 hgf和 agp中,
所以 hgf∽△agp,
所以gh·gp=gf·ga.
又因為gc·gd=gf·ga,
所以gp·gh=gc·gd.
(2) 因為ab=af,
所以∠abf=∠afb=∠aph.
又因為ab∥cd,
所以四邊形abhp是平行四邊形,
所以ab=ph=9,
所以gp=ph-gh=6,
所以gc===2,
所以pc=gp-gc=4.
因為pa是☉o的切線,
所以pa2=pc·pd,所以pa=2.
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2014數學高考瘋狂時刻引領狀元之路 幾何證明選講 1.如圖,已知ap切圓o於點p,ac交圓o於b,c兩點,點m是bc的中點,求證 oam apm 第1題 2.如圖,paq是直角,圓o與ap相切於點t,與aq相交於b,c兩點.求證 bt平分 oba.第2題 3.如圖,在圓o中,直徑ab與弦cd垂直,...
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