第三講：全等證明
1．如圖，已知△abc≌△ade，bc的邊長線交ad於f，交ae於g，∠acb=105°，∠cad=10°，∠ade=25°，求∠dfb和∠agb的度數．
2．如圖，△abc≌△bde，m、m′分別為ab、db中點，直線mm′交ce於k．試探索ck與ek的數量關係．
3．（1）如圖，ad是△abc的中線，ab=8，ac=6則ad的取值範圍是
a．6＜ad＜8 b．6≤ad≤8 c．1＜ad＜7 d．1≤ad≤7
（2）在（1）問的啟發下，解決下列問題：如圖，ad是△abc的中線，be交ac於e，交ad於f，且ae=ef，求證：ac=bf．
4．（2006紹興）我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形不一定全等．那麼在什麼情況下，它們會全等？
（1）閱讀與證明：
對於這兩個三角形均為直角三角形，顯然它們全等．
對於這兩個三角形均為鈍角三角形，可證它們全等（證明略）．
對於這兩個三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下：
已知：△abc、△a1b1c1均為銳角三角形，ab=a1b1，bc=b1cl，∠c=∠cl．
求證：△abc≌△a1b1c1．
（請你將下列證明過程補充完整．）
證明：分別過點b，b1作bd⊥ca於d，
b1d1⊥c1a1於d1．
則∠bdc=∠b1d1c1=90°，
∵bc=b1c1，∠c=∠c1，
∴△bcd≌△b1c1d1，
∴bd=b1d1．
（2）歸納與敘述：
由（1）可得到乙個正確結論，請你寫出這個結論．
5．（2006泰安）（1）已知：如圖①，在△aob和△cod中，oa=ob，oc=od，∠aob=∠cod=60°，求證：①ac=bd；②∠apb=60度；
（2）如圖②，在△aob和△cod中，若oa=ob，oc=od，∠aob=∠cod=α，則ac與bd間的等量關係式為apb的大小為
（3）如圖③，在△aob和△cod中，若oa=kob，oc=kod（k＞1），∠aob=∠cod=α，則ac與bd間的等量關係式為apb的大小為
6．（2009江漢區）如圖所示，在△abc中，d、e分別是ab、ac上的點，de∥bc，如圖①，然後將△ade繞a點順時針旋轉一定角度，得到圖②，然後將bd、ce分別延長至m、n，使dm=bd，en=ce，得到圖③，請解答下列問題：
（1）若ab=ac，請**下列數量關係：
①在圖②中，bd與ce的數量關係是
②在圖③中，猜想am與an的數量關係、∠man與∠bac的數量關係，並證明你的猜想；
（2）若ab=kac（k＞1），按上述操作方法，得到圖④，請繼續**：am與an的數量關係、∠man與∠bac的數量關係，直接寫出你的猜想，不必證明．
7．（2010達州）如圖所示，將一長方形紙片abcd摺疊，使點c與點a重合，點d落在點e處，摺痕為mn，圖中有全等三角形嗎？若有，請找出並證明．
8．（2007紹興）課外興趣小組活動時，許老師出示了如下問題：如圖1，己知四邊形abcd中，ac平分∠dab，∠dab=60°，∠b與∠d互補，求證：ab+ad=ac．小敏反覆探索，不得其解．她想，若將四邊形abcd特殊化，看如何解決該問題．
（1）特殊情況入手新增條件：「∠b=∠d」，如圖2，可證ab+ad=ac；（請你完成此證明）
（2）解決原來問題受到（1）的啟發，在原問題中，新增輔助線：如圖3，過c點分別作ab、ad的垂線，垂足分別為e、f．（請你補全證明）
9．如圖，在△abc中，ab=ac，de是過點a的直線，bd⊥de於d，ce⊥de於點e；
（1）若b、c在de的同側（如圖所示）且ad=ce．求證：ab⊥ac；
（2）若b、c在de的兩側（如圖所示），其他條件不變，ab與ac仍垂直嗎？若是請給出證明；若不是，請說明理由．
10．如圖，已知在△abc中，ab=ac，∠bac=90°，分別過b、c向過a的直線作垂線，垂足分別為e、f．
（1）如圖①過a的直線與斜邊bc不相交時，求證：ef=be+cf；
（2）如圖②過a的直線與斜邊bc相交時，其他條件不變，若be=10，cf=3，求：fe長．
11．如圖，ac=bc，∠acb=90°，d為bc的中點，be⊥bc，ce⊥ad，垂足分別為b、g，那麼ad=ce，bd=be．這個結論對不對？為什麼？
12．（2008蘇州）如圖，四邊形abcd的對角線ac與bd相交於o點，∠1=∠2，∠3=∠4．
求證：（1）△abc≌△adc；
（2）bo=do．
13．（2009赤峰）如圖，在四邊形abcd中，ab=bc，bf是∠abc的平分線，af∥dc，連線ac，cf．求證：ca是∠dcf的平分線．
14．（2005揚州）（本題有3小題，第（1）小題為必答題，滿分5分；第（2）、（3）小題為選答題，其中，第（2）小題滿分3分，第（3）小題滿分6分，請從中任選1小題作答，如兩題都答，以第（2）小題評分．）
在△abc中，∠acb=90°，ac=bc，直線mn經過點c，且ad⊥mn於d，be⊥mn於e．
（1）當直線mn繞點c旋轉到圖1的位置時，求證：
①△adc≌△ceb；②de=ad+be；
（2）當直線mn繞點c旋轉到圖2的位置時，求證：de=ad﹣be；
（3）當直線mn繞點c旋轉到圖3的位置時，試問de、ad、be具有怎樣的等量關係？請寫出這個等量關係，並加以證明．
15．（2012阜新）（1）如圖，在△abc和△ade中，ab=ac，ad=ae，∠bac=∠dae=90°．
①當點d在ac上時，如圖1，線段bd、ce有怎樣的數量關係和位置關係？直接寫出你猜想的結論；
②將圖1中的△ade繞點a順時針旋轉α角（0°＜α＜90°），如圖2，線段bd、ce有怎樣的數量關係和位置關係？請說明理由．
（2）當△abc和△ade滿足下面甲、乙、丙中的哪個條件時，使線段bd、ce在（1）中的位置關係仍然成立？不必說明理由．
甲：ab：ac=ad：ae=1，∠bac=∠dae≠90°；
乙：ab：ac=ad：ae≠1，∠bac=∠dae=90°；
丙：ab：ac=ad：ae≠1，∠bac=∠dae≠90°．
16．如圖是某城市街道示意圖，已知△abc與△ecd均是等邊三角形（即三條邊都相等，三個角都相等的三角形），點a，b，c，d，e，f，g，h為中巴停靠站．
（1）圖中△adc與△bec全等嗎？說明理由．
（2）△bec可由△adc通過怎樣的變換得到？請描述這個變換．根據這個變換，你認為∠ahb等於多少度（不必寫出理由）
（3）中巴車甲從a站出發，按照a→h→g→g→d→e→c
→f的順序達到f站；中巴乙從b站出發，沿b→f→h→e→d→c→f的順序到達f站．若甲，乙分別從a，b站同時出發，在各站耽誤的時間相同，兩車的平均速度也相同，試問哪一輛中巴先到達指定站？為什麼？
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