空間幾何體
高考對本節知識的考查主要有以下兩個考向：1.三檢視幾乎是每年的必考內容，一般以選擇題、填空題的形式出現，一是考查相關的識圖，由直觀圖判斷三檢視或由三檢視想象直觀圖，二是以三檢視為載體，考查面積、體積的計算等，均屬低中檔題.
2.對於空間幾何體的表面積與體積，由原來的簡單公式套用漸漸變為三檢視及柱、錐與球的接切問題相結合，特別是已知空間幾何體的三檢視求表面積、體積是近兩年高考考查的熱點，題型一般為選擇題或填空題．
1． 四稜柱、直四稜柱、正四稜柱、正方體、平行六面體、直平行六面體、長方體之間的關係．
2． 空間幾何體的三檢視
(1)三檢視的正檢視、側檢視、俯檢視分別是從物體的正前方、正左方、正上方看到的物體輪廓線的正投影形成的平面圖形．
(2)三檢視排列規則：俯檢視放在正檢視的下面，長度與正檢視一樣；側檢視放在正檢視的右面，高度和正檢視一樣，寬度與俯檢視一樣．
(3)畫三檢視的基本要求：正俯一樣長，俯側一樣寬，正側一樣高．看不到的線畫虛線．
3． 直觀圖的斜二測畫法
空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規則是：
(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．
(2)原圖形中平行於座標軸的線段，直觀圖中仍分別平行於座標軸．平行於x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行於y軸的線段長度在直觀圖中變為原來的一半．
4． 空間幾何體的兩組常用公式
(1)柱體、錐體、台體的側面積公式：
①s柱側＝ch(c為底面周長，h為高)；
②s錐側＝ch′(c為底面周長，h′為斜高)；
③s台側＝(c＋c′)h′(c′，c分別為上下底面的周長，h′為斜高)；
④s球表＝4πr2(r為球的半徑)．
(2)柱體、錐體和球的體積公式：
①v柱體＝sh(s為底面面積，h為高)；
②v錐體＝sh(s為底面面積，h為高)；
③v臺＝(s＋＋s′)h(不要求記憶)；
④v球＝πr3.
考點一三檢視與直觀圖的轉化
例1 (1)已知三稜柱的正檢視與俯檢視如圖，那麼該三稜錐的側檢視可能為
(2)將長方體截去乙個四稜錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側檢視為( )
答案 (1)b (2)d
解析 (1)底面為正三角形，一側稜垂直於底面．由虛線知可
能有一側稜看不見．由題知這個空間幾何體的側檢視的底面邊長是，故其側檢視只
可能是選項b中的圖形．
(2)如圖所示，點d1的投影為c1，點d的投影為c，點a的投影為b，故選d.
空間幾何體的三檢視是從空間幾何體的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三個平面投影圖，因此在分析空間幾何體的三檢視問題時，先根據俯檢視確定幾何體的底面，然後根據正檢視或側檢視確定幾何體的側稜與側面的特徵，調整實線和虛線所對應的稜、面的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結果．
(1)(2013·課標全國ⅱ)乙個四面體的頂點在空間直角座標系o－xyz中的座標分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三檢視中的正檢視時，以zox平面為投影面，則得到的正檢視可以為
(2)(2012·湖南)某幾何體的正檢視和側檢視均如圖所示，則該幾何體的俯檢視不可能是
( )
答案 (1)a (2)d
解析 (1)根據已知條件作出圖形：四面體c1－a1db，標出各個點的座標如圖(1)所示，可以看出正檢視為正方形，如圖(2)所示．故選a.
(2)根據幾何體的三檢視知識求解．
由於該幾何體的正檢視和側檢視相同，且上部分是乙個矩形，矩形中間無實線和虛線，因此俯檢視不可能是d.
考點二幾何體的表面積及體積
例2 (1)某四面體的三檢視如圖所示，該四面體四個面的面積中最大的是
a．8b．6c．10d．8
(2)(2013·浙江)若某幾何體的三檢視(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的體積等於________ cm3.
答案 (1)c (2)24
解析 (1)由三檢視可想象出如圖所示的三稜錐，sa⊥平面abc，△abc
中∠abc＝90°，sa＝ab＝4，bc＝3，因此圖中四個面的三角形均為
直角三角形，sb＝4，ac＝5，s△sac＝10，s△sab＝8，s△sbc＝6，
s△abc＝6，所以最大面積是10.
(2)由三檢視可知，其直觀圖為：
ab＝4，ac＝3，∠bac＝90°，
∴bc＝5.
作ah⊥bc於h，
ah＝＝.
作a1m⊥bb1於m，a1n⊥cc1於n.連線mn.
v＝×(5×3)×＋(3×4)××2＝24.
(1)求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關鍵所在．求三稜錐的體積，等體積轉化是常用的方法，轉換原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上．
(2)求不規則幾何體的體積，常用分割或補形的思想，將不規則幾何體轉化為規則幾何體以易於求解．
(1)(2013·江西)一幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的體積為 ( )
a．200＋9b．200＋18π
c．140＋9d．140＋18π
(2)(2012·遼寧)乙個幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的表面積為________．
答案 (1)a (2)38
解析 (1)該幾何體是由乙個長方體與乙個半圓柱構成．
v＝10×4×5＋×π×32×2＝200＋9π.
(2)將三檢視還原為直觀圖後求解．
根據三檢視可知幾何體是乙個長方體挖去乙個圓柱，
所以s＝2×(4＋3＋12)＋2π－2π＝38.
考點三多面體與球
例3 如圖所示，平面四邊形abcd中，ab＝ad＝cd＝1，bd＝，bd⊥cd，將其沿對角線bd折成四面體abcd，使平面abd⊥平面bcd，若四面體abcd的頂點在同乙個球面上，則該球的體積為
ab．3cd．2π
要求出球的體積就要求出球的半徑，需要根據已知資料和空間位置關係確定球心的位置，由於△bcd是直角三角形，根據直角三角形的性質：斜邊的中點到三角形各個頂點的距離相等，只要再證明這個點到點a的距離等於這個點到b，c，d的距離即可確定球心，進而求出球的半徑，根據體積公式求解即可．
答案 a
解析如圖，取bd的中點e，bc的中點o，
連線ae，od，eo，ao.
由題意，知ab＝ad，所以ae⊥bd.
由於平面abd⊥平面bcd，ae⊥bd，
所以ae⊥平面bcd.
因為ab＝ad＝cd＝1，bd＝，
所以ae＝，eo＝.所以oa＝.
在rt△bdc中，ob＝oc＝od＝bc＝，
所以四面體abcd的外接球的球心為o，半徑為.
所以該球的體積v＝π()3＝π.故選a.
多面體與球接、切問題求解策略
(1)涉及球與稜柱、稜錐的切、接問題時，一般過球心及多面體中的特殊點(一般為接、切點)或線作截面，把空間問題轉化為平面問題，再利用平面幾何知識尋找幾何體中元素間的關係，或只畫內切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關係，列方程(組)求解．
(2)若球面上四點p，a，b，c構成的三條線段pa，pb，pc兩兩互相垂直，且pa＝a，pb＝b，pc＝c，一般把有關元素「補形」成為乙個球內接長方體，則4r2＝a2＋b2＋c2求解．
(1)乙個幾何體的三檢視如圖所示，其中正檢視和側檢視是腰長為4的兩個全等的等腰直角三角形，若該幾何體的所有頂點在同一球面上，則該球的表面積是
( )
a．12b．24c．32d．48π
(2)乙個空間幾何體的三檢視如圖所示，且這個空間幾何體的所有頂點都在同乙個球面上，則這個球的表面積是________．
答案 (1)d (2)16π
解析 (1)由已知條件知該幾何體的直觀圖如圖所示，pa⊥面abcd，
△pac、△pbc、△pcd均為直角三角形，且斜邊相同，所以球心
為pc中點o，oa＝pc＝ob＝od＝2.球的表面積為s＝4π(oa)2
＝48π.
(2)該幾何體是乙個正三稜柱，底面邊長為3，高為2.設其外接球的球心為
o，上、下底面中心分別為b、c，則o為bc的中點，如圖所示．
則ab＝×3sin 60°＝，bo＝1，
∴該稜柱的外接球半徑為r＝＝2，
∴球的表面積是s＝4πr2＝16π.
1． 空間幾何體的面積有側面積和表面積之分，表面積就是全面積，是乙個空間幾何體中「暴露」在外的所有面的面積，在計算時要注意區分是「側面積還是表面積」．多面體的表面積就是其所有面的面積之和，旋轉體的表面積除了球之外，都是其側面積和底面面積之和．
2． 在體積計算中都離不開空間幾何體的「高」這個幾何量(球除外)，因此體積計算中的關鍵一環就是求出這個量．在計算這個幾何量時要注意多面體中的「特徵圖」和旋轉體中的軸截面．
3． 一些不規則的幾何體，求其體積多採用分割或補形的方法，從而轉化為規則的幾何體，而補形又分為對稱補形(即某些不規則的幾何體，若存在對稱性，則可考慮用對稱的方法進行補形)、還原補形(即還臺為錐)和聯絡補形(某些空間幾何體雖然也是規則幾何體，不過幾何量不易求解，可根據其所具有的特徵，聯絡其他常見幾何體，作為這個規則幾何體的一部分來求解)．
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