磁場專題
1.如圖甲，a、b兩板間距為，板間電勢差為u，c、d兩板間距離和板長均為l，兩板間加一如圖乙所示的電壓.在s處有一電量為q、質量為m的帶電粒子，經a、b間電場加速又經c、d間電場偏轉後進入乙個垂直紙面向裡的勻強磁場區域，磁感強度為b.
不計重力影響，欲使該帶電粒子經過某路徑後能返回s處.求：
(1)勻強磁場的寬度l′至少為多少?
(2)該帶電粒子週期性運動的週期t.
(1)ab加速階段，由動能定理得： ①
偏轉階段，帶電粒子作類平拋運動偏轉時間 ②
側移量 ③
設在偏轉電場中，偏轉角為θ
則 即θ＝ ④
由幾何關係：ｒｃｏｓ45°＋ｒ＝ｌ′⑤
ｒsin45則 ｌ′＝ ⑦
注：l′也可由下面方法求得：
粒子從s點射入到出偏轉電場，電場力共做功為ｗ＝２ｑｕ ⑧
設出電場時速度為ｖ′，有解得ｖ′＝ ⑨
粒子在磁場中做圓周運動的半徑：
∴ ⑩
(2)設粒子在加速電場中運動的時間為ｔ２
則帶電粒子在磁場中做圓周運動的週期
實際轉過的角度
在磁場中運動時間
故粒子運動的週期t
2、一帶電質點質量為m電量為q，以平行於ox軸的速度v從y軸上的a點射入圖中第一象限所示的區域。為了使該質點能從x軸上的b點以垂直於ox軸的速度v射出，可在適當的地方加乙個垂直於xy平面、磁感強度為b的勻強磁場。若此磁場僅分布在乙個圓形區域內，試求這個圓形區域的最小半徑，重力忽略不計。
解析：由題意可知，質量在xy平面的第一象限的磁場中做勻速圓周運動，在磁場外做勻速直線運動。由於質點進入磁場的速度方向與飛出磁場的速度方向相垂直成90°，由此可知質點在磁場中的軌跡是半徑為r的圓o（虛線）的圓周的1/4，如圖8，由題意，恰包含弦的磁場圓有無數個，且對應的圓心角越小，圓半徑越大，反之則越小，當圓心角為180°時，即為直徑時磁場圓o'（實線）的半徑最小，設其半徑為r，易得
顯而易見，以上找圓心及對角度的分析是解題的關鍵。
3、圖9中虛線mn是一垂直面的平面與紙面的交線，在平面右側的半空間存在著一磁感強度為b的勻強磁場，方向垂直紙面向外。o是mn上的一點，從o點可以向磁場區域發射電量為＋q、質量為m速率為v的粒子，粒子射入磁場時的速度可在紙面內各個方向。已知先後射入的兩個粒子恰好在磁場中的p點相遇，p到o的距離為l。
不計粒子的重力及粒子間的相互作用。
(1)求所考察的粒子在磁場中的軌道半徑。
(2)求這兩個粒子從o點射入磁場的時間間隔。
分析與解：這一題是帶電粒子僅在洛侖茲力作用下的運動問題，前後兩個粒子做完全相同的勻速圓周運動，對應的物理規律較簡單，第二問的難點在於物理情景分析和幾何關係的確定，勾畫草圖分析，巧設角度是解題的關鍵。
（1）設粒子在磁場中作圓周運動的軌道半徑為r，由牛頓第二定律，有
得 ①（2）如圖10所示，以op為弦可畫兩個半徑相同的圓，分別表示在p點相遇的兩個粒子的軌道。圓心和直徑分別為 o1、o2和oo1q1,oo2q2,在0處兩個圓的切線分別表示兩個粒子的射入方向，用θ表示它之間的夾角。
由幾何關係可知
從0點射入到相遇，粒子1的路程為半個圓周加弧長q1p
q1p＝rθ ③
粒子2的路程為半個圓周減弧長
pq2=r
粒子1運動的時間
⑤其中t為圓周運動的週期。粒子2運動的時間為
⑥兩粒子射入的時間問隔 △t=t1-t2= ⑦
因得 ⑧
由①、⑦、⑧三式得
△t=4、如圖1所示，a、b為水平放置的平行金屬板，板間距離為d(d遠小於板的長和寬)。在兩板之間有一帶負電的質點p。已知若在a、b間加電壓u0，則質點p可以靜止平衡。
現在a、b間加上如圖2所示的隨時間t變化的電壓u，在t=0時質點p位於a、b間的中點處且初速為0。已知質點p能在a、b之間以最大的幅度上下運動而不與兩板相碰，求圖2中u改變的各時刻t1、t2、t3及tn的表示式。(質點開始從中點上公升到最高點，及以後每次從最高點到最低點或從最低點到最高點的過程中，電壓只改變一次。
)設質點p的質量為m，電量大小為q，根據題意，當a、b間的電壓為u0時，
有： ①
當兩板間的電壓為2u0時，p的加速度向上，其大小為a，
② 解得a=g
當兩板間的電壓為0時，p自由下降，加速度為g，方向向下。
在t=0時，兩板間的電壓為2u0，p自a、b間的中點向上作初速為0的勻加速運動，加速度為g。經過時間τ1，p的速度變為v1，此時使電壓變為0，讓p在重力作用下向上作勻減速運動，再經過τ'1，p正好達到a板且速度變為0。
故有：v1=gτ1 0=v1-gτ』1 d= gτ12+v1τ'1- gτ'12
由以上各式得：τ1=τ'1 因為t1=τ1 得 ③
在重力作用下，p由a板處向下做勻加速運動，經過時間τ2，p的速度變為v2，方向向下。此時加上電壓使p向下作勻減速運動，再經過τ'2，p正好達到b板且速度變為0。
故有：v2=gτ2 0=v2-gτ'2 d= gτ22+v2τ'2- gτ'22
由以上各式得 τ2=τ'2 因為t2=t1+τ'1+τ2 得t2=( +1) ④
在電場力和重力的合力作用下，p又由b板向上作勻加速運動，經過時間τ3，速度變為v3，此時使電壓變為0，讓p在重力作用下向上作勻減速運動，經過τ'3，p正好達到a板且速度變為0。
故有：v3=gτ3 0=v3-gτ'3 d= gτ32+v3τ'3- gτ'32
由上得 τ3=τ'3 因為t3=t2+τ'2+τ3 得t3=( +3) ⑤
根據上面分析，因重力作用，p由a板向下做勻加速運動，經過τ2，再加上電壓，經過τ'2，p到達b且速度為0，因t4=t3+τ'3+τ2 得t4=( +5)
同樣分析可得tn=( +2n-3) (n≥2)
5．如圖所示，x軸上方有一勻強磁場，磁感應強度的方向垂直紙面向裡，大小為b，x軸下方有一勻強電場，電場強度的大小為e，方向與y軸的夾角θ為30°，且斜向上方，現有一質量為m電量為q的質子，以速度為v0由原點沿與x軸負方向的夾角θ為30°的方向射入第二象限的磁場，不計質子的重力，磁場和電場的區域足夠大，求：
（1）質子從原點到第一次穿越x軸所用的時間。
（2）質子第一次穿越x軸穿越點與原點的距離。
（3）質子第二次穿越x軸時的速度的大小、速度方向與電場方向的夾角。（用反三角函式表示）
解：（1）由題意可知，t=t/6……①
t=……② 2πm/qb =πm/3qb……③； qv0b=m……④ 易知△aob為等邊三角形
第一次穿越x軸，穿越點與原點距離x=r=mv0/qb……⑤
a時速度方向與x軸夾30°角方向與電場方向垂直，在電場中類平拋：v0 = at……⑥
由幾何關係知：
……⑦v=at=……⑧
第一次穿越x軸的速度大小v=…⑨
與電場方向夾角θ=arcsinarc……⑩
6．如圖所示的區域中，第二象限為垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度為b，第
一、第四象限是乙個電場強度大小未知的勻強電場，其方向如圖。乙個質量為m，電荷量為+q的帶電粒子從p孔以初速度v0沿垂直於磁場方向進入勻強磁場中，初速度方向與邊界線的夾角θ=30°，粒子恰好從y軸上的c孔垂直於勻強電場射入勻強電場，經過x軸的q點，已知oq=op，不計粒子的重力，求：
（1）粒子從p運動到c所用的時間t；
（2）電場強度e的大小；
（3）粒子到達q點的動能ek。
解：（1）帶電粒子在電磁場運動的軌跡如圖所示，由圖可知，帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡為半個圓周
由， 得：
又t=得帶電粒子在磁場中運動的時間：
（2）帶電粒子在電場中做類平拋運動，初速度v0垂直於電場沿cf方向，過q點作直線cf的垂線交cf於d，則由幾何知識可知， cpo≌cqo≌cdq，由圖可知：
cp=帶電粒子從c運動到q沿電場方向的位移為
帶電粒子從c運動到q沿初速度方向的位移為
由類平拋運動規律得：
；聯立以上各式解得：
（3）由動能定理得：。聯立以上各式解得：
7．如圖所示，水平地面上有一輛固定有豎直光滑絕緣管的小車，管的底部有一質量m=0.2g、電荷量q =8×10—5c的小球，小球的直徑比管的內徑略小．在管口所在水平面mn的下方存在著垂直紙面向裡、磁感應強度b1= 15t的勻強磁場，mn面的上方還存在著豎直向上、場強e = 25v/m的勻強電場和垂直紙面向外、磁感應強度b2 =5t的勻強磁場．現讓小車始終保持v = 2m/s的速度勻速向右運動，以帶電小球剛經過場的邊界pq為計時的起點，測得小球對管側壁的彈力fn隨高度h變化的關係如圖所示．g取10m/s2，不計空氣阻力。求：
⑴小球剛進入磁場b1時加速度a的大小；
⑵絕緣管的長度l；
⑶小球離開管後再次經過水平面mn時距管口的距離△x。
解：⑴以小球為研究物件，豎直方向小球受重力和恆定的洛倫茲力f1，故小球在管中豎直方向做勻加速直線運動，加速度設為a，則
⑵在小球運動到管口時，fn＝2.4×10-3n，設v1為小球豎直分速度，由
，則由得 ⑶小球離開管口進入復合場，其中qe＝2×10-3n，mg＝2×10-3n
故電場力與重力平衡，小球在復合場中做勻速圓周運動，合速度與mn成45°角，故軌道半徑為r，
小球離開管口開始計時，到再次經過mn所通過的水平距離
對應時間； 小車運動距離為x2，
所以小球此時離小車頂端的距離為
8．如圖，xoy平面內的圓o′與y軸相切於座標原點o．在該圓形區域內，有與y軸平行的勻強電場和垂直於圓面的勻強磁場．乙個帶電粒子（不計重力）從原點o沿x軸進入場區，恰好做勻速直線運動，穿過場區的時間為t0．若撤去磁場，只保留電場，其他條件不變，該帶電粒子穿過場區的時間為t0/2．若撤去電場，只保留磁場，其他條件不變，求：該帶電粒子穿過場區的時間．
解：設電場強度為e，磁感強度為b；圓o'的半徑為r；粒子的電量為q，質量為m，初速度為v．同時存在電場和磁場時，帶電粒子做勻速直線運動，有：
qvb =qe v0t0=2r
只存在電場時，粒子做類平拋運動，有：
x = y=
由以上式子可知x = y = r，粒子從圖中的m點離開電場．
由以上式子得
只存在磁場時，粒子做勻速圓周運動，從圖中n點離開磁場，p為軌跡圓弧的圓心．
設半徑為r，則有：；由以上式子可得；由圖
所以，粒子在磁場中運動的時間t=
9．如圖所示，第四象限內有互相正交的勻強電場e與勻強磁場b1，勻強電場e的電場強度大小為e=500v/m，勻強磁場b1的磁感應強度大小b1=0.5t。第一象限的某個區域內，有方向垂直紙面向裡的勻強磁場b2，磁場的下邊界與x軸重合。
一質量m=1×10-14kg、電荷量q=1×10—10c的帶正電微粒以某一速度v沿與y軸正方向成60°角從m點沿直線，經p點進入處於第一象限內的矩形勻強磁場b2區域。一段時間後，微粒經過y軸上的n點並與y軸正方向成60°角的方向飛出。m點的座標為（0，-10），n點的座標為（0，30），不計微粒的重力，g取10m/s2。
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