第2章推理與證明
(時間：120分鐘，滿分：150分)
一、選擇題(本大題共12小題．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．在△abc中，sin asin c>cos acos c，則△abc一定是( )
a．銳角三角形
b．直角三角形
c．鈍角三角形
d．不確定
解析：選d.由sin asin c>cos acos c，可得cos(a＋c)<0，即cos b>0，所以b為銳角，但並不能判斷a，c，故選d.
2．如果兩個數的和為正數，則這兩個數( )
a．乙個是正數，乙個是負數
b．兩個都是正數
c．至少有乙個是正數
d．兩個都是負數
解析：選c.兩個數的和為正數，則有三種情況：
(1)乙個是正數，乙個是負數且正數的絕對值大於負數的絕對值；(2)乙個是正數，乙個是零；(3)兩個數都是正數．可綜合為「至少有乙個是正數」．
3．已知a，b∈r，若a≠b，且a＋b＝2，則( )
a．1b．ab<1<
c．ab<<1
d. 解析：選b.∵b＝2－a，∴ab＝a(2－a)＝－(a2－2a)
＝－(a－1)2＋1<1，
＝＝＝a2－2a＋2＝(a－1)2＋1>1，故選b.
4．在面積為s(s為定值)的扇形中，當扇形的中心角為θ、半徑為r時，扇形周長最小，這時θ，r的值分別是( )
a．1，
b．2，
c．2，
d．2，
解析：選d.由s＝θr2可得θ＝，又因為扇形周長p＝2r＋θr＝2(r＋)≥4，所以當p最小時，r＝，解得r＝，此時θ＝2.
5．觀察式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，則可歸納出一般式子為( )
a．1＋＋＋…＋< (n≥2)
b．1＋＋＋…＋< (n≥2)
c．1＋＋＋…＋< (n≥2)
d．1＋＋＋…＋< (n≥2)
解析：選c.由合情推理可歸納出
1＋＋＋…＋< (n≥2)．故選c.
6．有以下結論：
(1)已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2，用反證法證明時，可假設p＋q≥2；
(2)已知a，b∈r，|a|＋|b|<1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對值都小於1，用反證法證明時可假設方程有一根x1的絕對值大於或等於1，即假設|x1|≥1.下列說法中正確的是( )
a．(1)與(2)的假設都錯誤
b．(1)與(2)的假設都正確
c．(1)的假設正確；(2)的假設錯誤
d．(1)的假設錯誤；(2)的假設正確
解析：選d.用反證法證題時一定要將對立面找全．在(1)中應假設p＋q>2.故(1)的假設是錯誤的，而(2)的假設是正確的，故選d.
7．若a，b，c∈r，且ab＋bc＋ca＝1，則下列不等式成立的是( )
a．a2＋b2＋c2≥2
b．(a＋b＋c)2≥3
c.＋＋≥2
d．a＋b＋c≤
解析：選b.∵ab＋bc＋ca＝1，
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝1，
∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥1＋2(a＋b＋c)＝3.
8．對於a，b∈(0，＋∞)，a＋b≥2，(大前提)
x＋≥2，(小前提)
所以x＋≥2，(結論)
以上推理過程中的錯誤為( )
a．大前提
b．小前提
c．結論
d．無錯誤
解析：選b.大前提中a，b∈(0，＋∞)，而小前提中x∈r，故小前提出錯，應改為x∈(0，＋∞)．
9.如圖所示的是某旅遊區各景點的分布圖，圖中一支箭頭表示一段有方向的路，試計算順著箭頭方向，從a到h不同的旅遊路線的條數是( )
a．15
b．16
c．17
d．18
解析：選c.
這是圖論中的乙個問題，如果一條一條的去數，由於道路錯綜複雜，哪些已算過，哪些沒有算過就搞不清了，所以我們換乙個思路，用分析法來試試．要到h點，需從f，e，g走過來，那f，e，g各點又可由哪些點走過來呢，…，這樣一步一步地倒推，最後歸結到a，然後再反推過去得到如下的計算法：a至b，c，d的路數記在b，c，d圓圈內，b，c，d分別到f，e，g的路數亦記在f，e，g圓圈內，最後f，e，g各個路數之和，即得至h的總路數，如圖所示．
10．若a＞0，b＞0，則p＝(ab)與q＝abba的大小關係是( )
a．p≥q
b．p≤q
c．p＞q
d．p＜q
解析：選a.＝ab＝，
若a＞b＞0，則＞1，a－b＞0，∴＞1；
若0＜a＜b，則0＜＜1，a－b＜0，∴＞1；
若a＝b，則＝1，∴p≥q.
11．已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋…＋f(n)不能等於( )
a．f(1)＋2f(1)＋…＋nf(1)
b．fc．n(n＋1)
d．n(n＋1)f(1)
解析：選d.由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)及f(1)＝2，得f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)＝4，f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝6，…，依此類推，f(n)＝f(n－1＋1)＝f(n－1)＋f(1)＝…＝nf(1)＝2n，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(n)＝2＋4＋6＋…＋2n＝＝n(n＋1)．故c正確，顯然a，b也正確，只有d不可能成立．
12．從一樓到二樓的樓梯共有n級台階，每步只能跨上1級或2級台階，走完這n級台階共有f(n)種走法，則下面的猜想正確的是( )
a．f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n≥3)
b．f(n)＝2f(n－1)(n≥2)
c．f(n)＝2f(n－1)－1(n≥2)
d．f(n)＝f(n－1)f(n－2)(n≥3)
解析：選a.當n＝1時，f(1)＝1；當n＝2時，f(2)＝2；當n＝3時，f(3)＝3；當n＝4時，f(4)＝5，由上面可推知選a(猜想)．
二、填空題(本大題共4小題．把正確答案填在題中橫線上)
13．在△abc中，d為bc的中點，則＝(＋)，將命題模擬到四面體中去，得到乙個模擬命題
解析：△abc中bc邊上的中點模擬為四面體中乙個面的重心．
答案：在四面體a bcd中，g為△bcd的重心，則＝(＋＋)
14．寫出用三段論證明f(x)＝x3＋sinx(x∈r)為奇函式的步驟是
解析：按照三段論的要求寫出即可．
答案：滿足f(－x)＝－f(x)的函式是奇函式，(大前提)
f(－x)＝(－x)3＋sin(－x)＝－x3－sinx＝－(x3＋sinx)＝－f(x)，(小前提)
所以f(x)＝x3＋sinx是奇函式．(結論)
15．設f(x)是定義在r上的奇函式，且y＝f(x)的圖象關於直線x＝對稱，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5
解析：因為f(x)在r上是奇函式，所以f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)，又因為f(x)的圖象關於直線x＝對稱，所以f(x)＝f(1－x)，所以f(1－x)＝f(x)＝－f(－x)，設t＝－x，則f(1＋t)＝－f(t)．所以f(2＋t)＝f[1＋(1＋t)]＝－f(1＋t)＝－[－f(t)]＝f(t)，即f(2＋t)＝f(t)，所以f(x)的週期為2.所以f(1)＝f(3)＝f(5)，f(2)＝f(4)．又因為f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，f(2)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
答案：0
16．將正△abc分割成n2(n≥2，n∈n)個全等的小正三角形(圖①，圖②分別給出了n＝2,3的情形)，在每個三角形的頂點各放置乙個數，使位於△abc的三邊及平行於某邊的任一直線上的數(當數的個數不少於3時)都分別依次成等差數列．若頂點a，b，c處的三個數互不相同且和為1，記所有頂點上的數之和為f(n)，則有f(2)＝2，f(3f(n
解析：當n＝3時，如下圖所示，各頂點的數用小寫字母來表示，即由條件知a＋b＋c＝1，x1＋x2＝a＋b，y1＋y2＝b＋c，z1＋z2＝c＋a.
∴x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＝2(a＋b＋c)＝2.
∵2g＝x1＋y2＝x2＋z1＝y1＋z2，
∴6g＝x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＝2(a＋b＋c)＝2，
即g＝.
∴f(3)＝a＋b＋c＋x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＋g＝1＋2＋＝.
進一步可求得f(4)＝5.由f(1)＝1＝，f(2)＝＝f(1)＋，f(3)＝＝f(2)＋，f(4)＝＝f(3)＋，可得f(n)＝f(n－1)＋.
所以f(n)＝f(n－1)＋
＝f(n－2)＋＋＝…
＝＋＋＋…＋＋f(1)
＝＋…＋＋＋
＝(n＋1)(n＋2)．
答案： (n＋1)(n＋2)
三、解答題(本大題共6小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．已知a是整數，a2是偶數，求證：a是偶數．
證明：(反證法)假設a不是偶數，即a是奇數，則設a＝2n＋1(n∈z)．
∴a2＝4n2＋4n＋1.
∵4(n2＋n)是偶數，
∴4n2＋4n＋1是奇數，
這與已知a2是偶數矛盾，所以假設錯誤，
即a一定是偶數．
18．用三段論證明：直角三角形兩銳角之和是90°.
證明：任意三角形的內角和為180°.大前提
直角三角形是三角形．小前提
直角三角形的三內角之和為180°.結論
設直角三角形的兩個內角分別為∠a，∠b，則有∠a＋∠b＋90°＝180°.
等量減等量差相等．大前提
(∠a＋∠b＋90°)－90°＝180°－90°.小前提
∠a＋∠b＝90°.結論
19．觀察下表
1，2,3，
4,5,6,7，
8,9,10,11,12,13,14,15，
…問：(1)此表第n行的最後乙個數是多少？
(2)此表第n行的各個數之和是多少？
(3)2011是第幾行的第幾個數？
解：(1)由表知，每行的第乙個數為偶數，所以第n＋1行的第乙個數為2n，所以第n行的最後乙個數為2n－1.
推理與證明章末小結
知識建構 一 知識要點 1.歸納推理 主要應用於先由已知條件歸納出乙個結論,並加以證明或以推理作為題目的已知條件給出猜測的結論,並要求考生會應用或加以證明.2.模擬推理 通過兩類事物的相似性或一致性,用一類事物的性質去推測另一類事物的性質,得出乙個明確的結論.常見的有結論模擬和方法模擬.高考資源網 ...
高中數學第2章推理與證明章末測試蘇教版選修
章末質量評估 二 時間 120分鐘滿分 160分 一 填空題 本大題共14小題，每小題5分，共70分 1 下列推理 由a，b為兩個不同的定點，動點p滿足 pa pb 2a 由a1 1，an 3n 1，求出s1，s2，s3，猜想出數列的前n項和sn的表示式 由圓x2 y2 r2的面積 r2，猜想出橢圓...
第二章推理與證明綜合檢測
一 選擇題 本大題共12個小題，每小題5分，共60分 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1 銳角三角形的面積等於底乘高的一半,直角三角形的面積等於底乘高的一半 鈍角三角形的面積等於底乘高的一半 所以，凡是三角形的面積都等於底乘高的一半 以上推理運用的推理規則是 a 三段論推理 b ...