一，不等關係和不等式
1．實數大小順序與運算性質之間的關係
a－b＞0a>b；a－b＝0a＝b；a－b＜0a2．不等式的基本性質
1．在應用傳遞性時，注意等號是否傳遞下去，如a≤b，b2．在乘法法則中，要特別注意「乘數c的符號」，例如當c≠0時，有a>bac2>bc2；若無c≠0這個條件，a>bac2>bc2就是錯誤結論(當c＝0時，取「＝」)．
1．(2013·北京高考)設a，b，c∈r，且a>b，則( )
a．ac>bcb. <
c．a2>b2 d. a3>b3
解析：選d 由性質知選d.
21(填「>」或「<」)． 解析：＝＋1＜＋1 答案：<
1．不等式的倒數性質
(1)a>b，ab>0<；
(2)a<0(3)a>b>0,0；
(4)02．不等式的分數性質
(1)真分數的性質：
<； > (b－m>0)；
(2)假分數的性質：
>； < (b－m>0)．
[練一練]
若00，則與的大小關係為答案： >
一，比較兩個數的大小
1.已知a1，a2∈(0,1)，記m＝a1a2，n＝a1＋a2－1，則m與n的大小關係是( )
a．mn
c．m＝n d．不確定
解析：選b m－n＝a1a2－(a1＋a2－1)
＝a1a2－a1－a2＋1
＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，
又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，
∴a1－1<0，a2－1<0.
∴(a1－1)(a2－1)>0，即m－n>0.
∴m>n.
2．若實數a≠1，比較a＋2與的大小．
解：a＋2－＝＝
∴當a>1時，a＋2>；
當a<1時，a＋2<.
歸納：比較大小的常用方法
(1)作差法：
一般步驟是：①作差；②變形；③定號；④結論．其中關鍵是變形，常採用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式．當兩個式子都為正數時，有時也可以先平方再作差．
(2)作商法：
一般步驟是：①作商；②變形；③判斷商與1的大小；④結論．
(3)特值法：
若是選擇題、填空題可以用特值法比較大小；若是解答題，可先用特值**思路，再用作差或作商法判斷．
注意：用作商法時要注意商式中分母的正負，否則極易得出相反的結論．
二，不等式的性質
[典例] (1)(2014·太原)「a＋c>b＋d」是「a>b且c>d」的( )
a．充分不必要條件 b．既不充分也不必要條件
c．充分必要條件 d．必要不充分條件
(2)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，則下列結論：①ad＞bc；②＋＜0；③a－c＞b－d；④a·(d－c)＞b(d－c)中成立的個數是( )
a．1 b．2
c．3 d．4
[解析] (1)由「a＋c>b＋d」不能得知「a>b且c>d」，反過來，由「a>b且c>d」可得知「a＋c>b＋d」，因此「a＋c>b＋d」是「a>b且c>d」的必要不充分條件，選d.
(2)法一：∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，
∴ad＜bc，故①錯誤．
∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，
∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，
∴a(－c)＞(－b)(－d)，
∴ac＋bd＜0，∴＋＝＜0，
故②正確．
∵c＜d，∴－c＞－d，
∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，
a－c＞b－d，故③正確．
∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，
故④正確，故選c.
法二：取特殊值．
[答案] (1)d (2)c
（3） (2014·北京東城區綜合練習)若a>b>0，則下列不等式不成立的是( )
a. < b．|a|>|b|
c．a＋b<2 d. a解析：選c ∵a>b>0，∴ <，且|a|>|b|，a＋b>2，又2a>2b，∴ a三，不等式性質的應用
[典例] 已知函式f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值範圍．
[解] f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b.
f(－2)＝4a－2b.
設m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b.
則解得∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)．
∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤f(－2)≤10.
即f(－2)的取值範圍為[5,10]．
解：由本例知f(－2)＝f(1)＋3f(－1)．
又∵1∴5<3f(－1)＋f(1)<10，
故5故f(－2)的取值範圍為(5,10)．
練習：若α，β滿足試求α＋3β的取值範圍．
解：設α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.
則解得∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，
兩式相加，得1≤α＋3β≤7.
∴α＋3β的取值範圍為[1,7]．
二，一元二次不等式解法
一元二次不等式與相應的二次函式及一元二次方程的關係
基礎題1．(2013·浙江高考)設集合s＝，t＝，則(rs)∪t＝( )
a．(－2,1b．(－∞，－4]
c．(－∞，1] d．[1，＋∞)
解析：選c t＝ ，根據補集定義，
rs＝，所以(rs)∪t＝，選c.
2．不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，則a＋b的值是( )
a．10 b．－10
c．14 d．－14
解析：選d 由題意知－、是ax2＋bx＋2＝0的兩根．
則a＝－12，b＝－故選d.
3．不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，則實數a的取值範圍是________．
解析：∵不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，
∴δ＝a2－4×4>0，即a2>16.
∴a>4或a<－4.
答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)
總結1．由二次函式影象與一元二次不等式的關係得到的兩個常用結論
(1)不等式ax2＋bx＋c>0對任意實數x恆成立或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0對任意實數x恆成立或
2．分類討論思想
解含引數的一元二次不等式，可先考慮因式分解，再對根的大小進行分類討論；若不能因式分解，則可對判別式進行分類討論，分類要不重不漏．
練習：若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集為r，則m的取值範圍是________．
解析：①當m＝0時，1>0顯然成立．
②當m≠0時，由條件知
得0由①②知0≤m<1.
答案：[0,1)
一，一元二次不等式的解法
[典例] 解下列不等式：
(1)0＜x2－x－2≤4；
(2)x2－4ax－5a2＞0(a≠0)．
[解] (1)原不等式等價於
借助於數軸，如圖所示，
原不等式的解集為.
(2)由x2－4ax－5a2＞0知(x－5a)(x＋a)＞0.
由於a≠0故分a＞0與a＜0討論．
當a＜0時，x＜5a或x＞－a；
當a＞0時，x＜－a或x＞5a.
綜上，a＜0時，解集為；a＞0時，解集為.
總結1．解一元二次不等式的一般步驟：
(1)對不等式變形，使一端為0且二次項係數大於0，即ax2＋bx＋c＞0(a＞0)，ax2＋bx＋c＜0(a＞0)；
(2)計算相應的判別式；
(3)當δ≥0時，求出相應的一元二次方程的根；
(4)根據對應二次函式的影象，寫出不等式的解集．
2．解含引數的一元二次不等式，要把握好分類討論的層次，一般按下面次序進行討論：首先根據二次項係數的符號進行分類，其次根據根是否存在，即δ的符號進行分類，最後在根存在時，根據根的大小進行分類．
練習：解下列不等式：
(1)－3x2－2x＋8≥0；
(2)ax2－(a＋1)x＋1＜0(a＞0)．
解：(1)原不等式可化為3x2＋2x－8≤0，
即(3x－4)(x＋2)≤0.
解得－2 ≤x≤，
所以原不等式的解集為.
(2)原不等式變為(ax－1)(x－1)＜0，
因為a＞0，所以a (x－1)＜0.
所以當a＞1時，解為＜x＜1；
當a＝1時，解集為；
當0＜a＜1時，解為1＜x＜.
綜上，當0＜a＜1時，不等式的解集為；
當a＝1時，不等式的解集為；
當a＞1時，不等式的解集為.
二，一元二次不等式恆成立問題
一形如f(x)≥0(x∈r)確定引數的範圍
1．(2013·重慶高考)設0≤α≤π，不等式8x2－(8sin α)x＋cos 2α≥0對x∈r恆成立，則α的取值範圍為________．
7不等式推理與證明
1.課題 不等式的性質 教學目標 掌握並能運用不等式的性質，靈活運用實數的性質 掌握比較兩個實數大小的一般步驟 教學重點 不等式的性質的靈活應用與兩實數大小比較的方法 一 主要知識 不等式的性質 對稱性 傳遞性 可加性 加法性質 移項法則 可乘性 乘法性質 乘方性質 開方性質 倒數法則 二 主要方法...
6 不等式推理與證明
1.若滿足約束條件 則的最小值是 a b cd 2.已知變數滿足約束條件，則的最小值為 a b.c.d.3.若變數滿足約束條件則目標函式的最小值是 4.設變數x,y滿足約束條件,則目標函式z 3x 2y的最小值為 a.5 b.4 c.2 d.3 5.設變數x,y滿足,則的最大值和最小值分別為 a 1...
專題11不等式與推理證明
江蘇省2013屆高考數學 蘇教版 二輪複習專題11 不等式與推理證明 回顧2009 2012年的考題，解一元二次不等式作為乙個重要的代數解題工具，是考查的熱點，多與集合 函式 數列相結合考查.另乙個c級知識點基本不等式是必考內容，主要考查用基本不等式求解最值或在代數綜合問題中判斷多項式的大小關係等....