隆建軍﹙四川省攀枝花市大河中學，四川攀枝花617061﹚
摘要：本文利用cauchy不等式和推廣的均值不等式對乙個三角不等式進行了深入的**，得到了一系列的不等式
關鍵詞：三角不等式；多元變式推廣；cauchy不等式；推廣的均值不等式
《數學通訊》﹙學生刊﹚2023年第1-2期問題123給出了如下三角不等式：
問題：求證：
1﹚本文將運用文[1]中的結論和著名的cauchy不等式,將不等式﹙1﹚作指數和多元推廣，獲得了很多漂亮的結論.
1.引理
引理1 ﹙cauchy不等式﹚如果為兩組實數，則
當且僅當時等號成立。
若，則不等式的等號成立的條件。
引理2 若，則下列不等式成立
當且僅當時，等號成立.
2.不等式﹙1﹚的相關推廣
結論1 若則有：
2﹚當且僅當時，不等式﹙2﹚中等號成立.
證明：下式變形，結合柯西不等式可得：
.結論2 若則有：
3﹚當且僅當時，不等式﹙3﹚中等號成立.
證明：下式變形，結合柯西不等式可得：
結論3 若則有：
4﹚當且僅當時，不等式﹙4﹚中等號成立.
證明：下式變形，結合柯西不等式和引理2可得
.結論4 若則有：
5﹚6﹚
當且僅當時，不等式﹙5﹚、﹙6﹚中等號成立.
證明：﹙ⅰ﹚下式變形，結合柯西不等式、引理2和權方和不等式，可得
﹙ⅱ﹚我們注意到對任意的，有下列不等式成立.
7﹚事實上，令，則﹙7﹚式等價於
8﹚設，對求導可得
令可得，經判斷，可知在單調遞增，在單調遞減.
，即﹙8﹚式成立，故﹙7﹚式成立.
所以有.故
.結論5 若則有：
﹙ⅰ﹚ ﹙9﹚
﹙ⅱ﹚ ﹙10﹚
當且僅當時，不等式﹙9﹚、﹙10﹚中等號成立.
證明：﹙ⅰ﹚令，則，
結合柯西不等式，可得，故
.﹙ⅱ﹚令，則，.
由柯西不等式和權方和不等式，可得，.
故.結論6 若則有：
﹙ⅰ﹚﹙11﹚
﹙ⅱ﹚ ﹙12﹚
當且僅當時，不等式﹙11﹚、﹙12﹚中等號成立.
參考文獻:
[1]伏春玲,董建德.均值不等式的性質推廣及應用[j].甘肅聯合大學學報﹙自然科學版﹚，2010,24﹙5﹚：26-31.
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