廣東省興寧市職業技術學校 (514500) 何斌
(本文發表在中學數學研究（廣東）2023年第1期)
2023年第26屆獨立國協數學奧林匹克競賽題中有一道不等式證明題:
題目：設，求證：.
我們通過對這道題的證明,談談在不等式的證明中常用到的一些數學思想方法.
一、構造向量法
向量是高中數學的重要內容之一，在不等式證明中有著重要地位和作用.
我們根據向量的數量積和三角函式的有界性可得mn=|m||n||m||n|,
利用向量的這個性質,我們可以通過構造向量來證明某些不等式.
證法1：設m=, n=
則由mn|m||n|,得|m|2|n|2 (mn)2
從而所以.
評注:此題也可用柯西不等式來證：對任意的實數, ,當且僅當(為常數;)時等號成立.
二、建構函式法
證明不等式時,如果能夠依據題目的結構特徵,選擇恰當的變元建立起
函式關係,然後運用函式的性質,往往能收到意想不到的效果.
證法2:建構函式
因為恆成立,所以△=.
化簡可得
因為,所以,從而.
同理,所以.
三、構造對偶式法
根據不等式的特點,構造乙個與其相關聯的對偶式,通過對它們之間的靈活處理,得到一些有用的關係式,能促進問題的有效解決.
證法3:記,構造的對偶式則故.
而 .
所以,即.
四、增量代換法
若,則可設,其中為增量,這種換元法叫增量代換法.合理的增量代換往往能簡化題設資訊,顯化隱含條件,溝通量與量之間的聯絡,實現不等向相等的轉化,對發現解題思路,優化解題過程有著重要的作用.
證法4:因為,所以可設,其中
所以五、均值不等式法
均值不等式:若,(),則,是中學數學幾個重要的不等式之一,其推論更是在不等式的證明中應用廣泛.
證法5:因為,所以,由均值不等式得
①②①+②並化簡得.
參考文獻:
[1]杜志建.中學教材學習講義(必修四)[m].呼和浩特:內蒙古人民出版社,2005.12.
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[3]楊華.構造配對式證明不等式[j]. 中等數學,2005(3).
[4]解梅波.利用增量代換法解競賽題[j].中等數學,1998(2).
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