專題04 不等式的證明
知識通關
1．基本不等式
（1）定理1：如果a，b∈r，那麼a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立．
（2）定理2（基本不等式）：如果a，b>0，那麼，當且僅當a=b時，等號成立.
用語言可以表述為：兩個正數的算術平均數不小於(即大於或等於)它們的幾何平均數.
（3）定理3：如果a，b，c為正數，那麼，當且僅當a＝b＝c時，等號成立．
用語言可以表述為：三個正數的算術平均數不小於(即大於或等於)它們的幾何平均數.
（4）算術平均—幾何平均定理(基本不等式的推廣)：對於n個正數a1，a2，···，an，它們的算術平均數不小於(即大於或等於)它們的幾何平均數，即，當且僅當a1=a2=···=an時，等號成立.
2．柯西不等式
（1）二維形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是實數，則，當且僅當ad=bc時，等號成立.
（2）柯西不等式的向量形式：設α，β是兩個向量，則，當且僅當α是零向量或β是零向量或存在實數k使α=kβ時，等號成立.
（3）二維形式的三角不等式：設x1，y1，x2，y2∈r，那麼.
（4）一般形式的柯西不等式：設是實數,則()()
≥，當且僅當ai=0或bi=0(i=1,2,···,n)或存在乙個數k使得ai=kbi(i=1,2,···,n)時，等號成立.
3．不等式證明的方法
（1）比較法
比較法是證明不等式最基本的方法，可分為作差比較法和作商比較法兩種.
（2）綜合法與分析法
①綜合法：利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質，推導出所要證明的不等式，這種方法叫綜合法．即「由因導果」的方法．
②分析法：從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已經具備，那麼就可以判定原不等式成立，這種方法叫分析法．即「執果索因」的方法．
（3）反證法和放縮法
①反證法：一般地，假設原命題不成立（即在原命題的條件下，結論不成立），經過正確的推理，最後得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．反證法是間接證明的一種基本方法．
②放縮法：證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到到證明的目的.我們把這種方法稱為放縮法.
基礎通關
1．比較法證明不等式最常用的是差值比較法，其基本步驟是：作差—變形—判斷差的符號—下結論.其中「變形」是證明的關鍵，一般通過因式分解或配方將差式變形為幾個因式的積或配成幾個代數式平方和的形式，當差式是二次三項式時，有時也可用判別式來判斷差值的符號.
2．綜合法證明的實質是由因導果，其證明的邏輯關係是：ab1b2…bnb(a為已知條件或數學定義、定理、公理，b為要證結論)，它的常見書面表示式是「∵，∴」或「」．解題時，要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯絡．合理進行轉換，恰當選擇已知不等式，這是證明的關鍵．
3．當要證的不等式較難發現條件和結論之間的關係時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關鍵是推理的每一步必須可逆．
題組一比較法證明不等式
作差(商)證明不等式，關鍵是對差(商)式進行合理的變形，特別注意作商證明不等式，不等式的兩邊應同號．在使用作商比較法時，要注意說明分母的符號．
【例1】已知函式，m為不等式的解集.
（1）求m；
（2）證明：當a，b時，.
【解析】（1）
當時，由得解得；
當時，；
當時，由得解得.
所以的解集.
（2）由（1）知，當時，，
從而，因此
題組二分析法證明不等式
分析法證明的思路是「執果索因」，具體過程如下：→→→···→得到乙個明顯成立的條件.
【例2】已知函式.
（1）求不等式的解集a；
（2）若，試證明：.
【解析】（1）若，則，解得，無解；
若，則，解得，故；
若，則，解得，故.
綜上所述，不等式的解集a為.
題組三反證法證明不等式
反證法的關鍵是在正確的推理下得出矛盾．這個矛盾可以是與已知條件矛盾，或與假設矛盾，或與定義、公理、定理、公認的簡單事實矛盾等．矛盾是在推理過程中發現的，不是推理之前設計的．
【例3】設a>0，b>0，且a＋b＝.證明：
（1）a＋b≥2；
（2）a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時成立．
【解析】由a＋b＝＝，a>0，b>0，得ab＝1.
（1）由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.
（2）假設a2＋a<2與b2＋b<2同時成立，
則由a2＋a<2及a>0，得0同理，0故a2＋a<2與b2＋b<2不可能同時成立.
能力通關
1．使用基本不等式時易忽視等號成立的條件．
利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理最後轉化為需證問題．若不等式恒等變形之後與二次函式有關，可用配方法．
2．個別題目也可用柯西不等式來證明，注意柯西不等式使用的條件.
基本不等式——綜合法證明不等式
【例1】已知且．證明：
（1）；
（2）．
【解析】（1），．
（2）因為
所以即即.
【例2】已知函式的最大值為.
（1）求的值；
（2）若（，），求證：.
【解析】（1）由於
所以的最大值為，即.
（2）由（1）得.
因為，，
所以，當且僅當，時，等號成立.
柯西不等式及其應用
【例3】已知函式,且對任意,都有.
（1）求及的值；
（2）若, 且,求的最大值及的最大值.
【解析】（1）,
其中取等號的條件是,即,
取等號的條件是,
所以,.
【名師點睛】本題考查絕對值三角不等式的應用,基本不等式及柯西不等式的應用,意在考查分類討論思想方法,以及分析問題、解決問題的能力．
不等式證明的綜合問題
【例4】已知在中，角，，所對的邊分別為，，．
（1）證明：；
（2）若，且恆成立，求實數的最小值．
【解析】（1）因為，，為正實數，
所以由均值不等式可得，即，
所以，又，
所以，當且僅當時，取等號．
【例5】已知函式.
（1）解不等式：；
（2）若函式的最小值為，正實數滿足，證明：.
【解析】（1）依題意，；
當時，原式化為，解得；
當時，原式化為，解得，故不等式無解；
當時，原式化為，解得.
綜上所述，不等式的解集為.
（2）由題意，可得，
所以當時，函式有最小值10，即.
故，當且僅當時等號成立，此時.
高考通關
1．已知函式f(x)＝|x＋1|.
（1）求不等式f(x)＜|2x＋1|－1的解集m；
（2）設a，b∈m，證明：f(ab)＞f(a)－f(－b)．
【解析】（1）①當x≤－1時，原不等式可化為－x－1＜－2x－2，解得x＜－1；
②當－1＜x＜－時，原不等式可化為x＋1＜－2x－2，解得x＜－1，此時原不等式無解；
③當x≥－時，原不等式可化為x＋1＜2x，解得x＞1.
綜上，m＝.
（2）因為f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|，
所以，要證f(ab)＞f(a)－f(－b)，只需證|ab＋1|＞|a＋b|，
即證|ab＋1|2＞|a＋b|2，
即證a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2，
即證a2b2－a2－b2＋1＞0，即證(a2－1)(b2－1)＞0.
因為a，b∈m，
所以a2＞1，b2＞1，
所以(a2－1)(b2－1)＞0成立，
所以原不等式成立.
2．已知為任意實數.
（1）求證：;
（2）求函式的最小值.
【解析】（1）
.因為,
所以.（2）===,
即.3．設函式.
（1）當時，解不等式；
（2）若的解集為，，求證：.
【解析】（1）當a=2時，不等式為，
若，則，解得；
若，則，即，無解；
若，則，解得.
所以不等式的解集為.
（2）即，解得，
而的解集是，所以，解得a=1，
所以，所以，
當且僅當，即時取等號.
4．已知定義在r上的函式f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值為a.
（1）求a的值；
（2）若p，q，r是正實數，且滿足p＋q＋r＝a，求證：p2＋q2＋r2≥3.
【解析】（1）因為|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
當且僅當－1≤x≤2時，等號成立，
所以f(x)的最小值等於3，即a＝3.
5．已知不等式對任意實數恆成立．
（1）求實數的最小值；
（2）若，且滿足，求證：．
【解析】（1）不等式等價於．
令，則不等式對任意實數恆成立等價於．
而作出函式的圖象，由圖可知，函式的最小值為，即，
所以，即，
故．（2）由（1）知，其中，
所以，，，
所以原不等式等價於 ．
下面證明不等式：
因為（當且僅當時取等號），
（當且僅當時取等號），
（當且僅當時取等號）．
三式相加得：（當且僅當時取等號），
所以，即．
【名師點睛】本題考查含有絕對值的不等式恆成立問題、不等式的證明、函式圖象的應用，意在考查推理論證能力、運算求解能力．
備戰高考數學選擇題專題04不等式的證明文
專題04 不等式的證明 知識通關 1 基本不等式 1 定理1 如果a，b r，那麼a2 b2 2ab，當且僅當a b時，等號成立 2 定理2 基本不等式 如果a，b 0，那麼，當且僅當a b時，等號成立.用語言可以表述為 兩個正數的算術平均數不小於 即大於或等於 它們的幾何平均數.3 定理3 如果a...
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