一、數形結合
畫出圖形或者圖象能夠使問題提供的資訊更直觀地呈現，從而大大降低思維難度，是解決數學問題的有力策略，這種方法使用得非常之多。
【例題】、（07江蘇6）設函式定義在實數集上，它的圖象關於直線對稱，且當時，，則有（ ）。
ab、cd．【解析】、當時，，的
圖象關於直線對稱，則圖象如圖所示。
這個圖象是個示意圖，事實上，就算畫出
的圖象代替它也可以。由圖知，
符合要求的選項是b，
【練習1】、若p（2，-1）為圓的弦ab的中點，則直線ab的方程是（ ）
a、 b、c、d、
（提示：畫出圓和過點p的直線，再看四條直線的斜率，即可知選a）
【練習2】、（07遼寧）已知變數、滿足約束條件，則的取值範圍是（ ）
a、 b、 c、 d、
（提示：把看作可行域內的點與原點所在直線的斜率，不難求得答案 ，選a。）
【練習3】、曲線
與直線有兩個公共點時，
的取值範圍是（ ）
a、 b、
c、 d、
（提示：事實上不難看出，曲線方程的圖象為，表示以（1，0）為圓心，2為半徑的上半圓，如圖。直線過定點（2，4），那麼斜率的範圍就清楚了，選d）]
【練習4】、函式在區間
a上是增函式，則區間a是（ ）
a、 b、
c、 d、
（提示：作出該函式的圖象如右，知應該選b）
【練習5】、曲線與直線
有兩個交點，則的取值範圍是（ ）
a、或 b、
c、或 d、
（提示：作出曲線的圖象如右，因為直線
與其有兩個交點，則或，選a）
【練習6】、（06湖南理8）設函式，集合，，若，則實數的取值範圍是（ ）
a、 b、 c、 d、
（提示：數形結合，先畫出的圖象。。當時，圖象如左；當時圖象如右。
由圖象知，當時函式在上遞增，，同時的解集為的真子集，選c）
【練習7】、（06湖南理10）若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則直線的傾斜角的取值範圍是（ ）
a、 b、 c、 d、
（提示：數形結合，先畫出圓的圖形。圓方程化為
，由題意知，圓心到直線
的距離應該滿足，在已知圓中畫乙個半
徑為的同心圓，則過原點的直線與小圓有公共點，∴選b。）
【練習8】、（07浙江文10）若非零向量a，b滿足|a-b|=| b |，則（ ）
a、|2b| ＞ | a-2b | b、|2b| ＜ | a-2b |
c、|2a| ＞ | 2a-b | d、|2a| ＜ | 2a-b |
（提示：關鍵是要畫出向量a，b的關係圖，為此
先把條件進行等價轉換。|a-b|=| b ||a-b|2=
| b |2 a2+b2-2a·b= b2 a·（a-2b）=0
a⊥（a-2b），又a-（a-2b）=2b，所以|a|，| a-2b |，
|2b|為邊長構成直角三角形，|2b|為斜邊，如上圖，
∴|2b| ＞ | a-2b |，選a。
另外也可以這樣解：先構造等腰△oab，使ob=ab，
再構造r△oac，如下圖，因為oc＞ac，所以選a。）
【練習9】、方程cosx=lgx的實根的個數是（ ）
a、1 b、2 c、3 d、4
（提示：在同一座標系中分別畫出函式cosx與lgx的圖象，如圖，
由兩個函式圖象的交點的個數為3，知應選c）
【練習10】、(06江蘇7)若a、b、c為三個集合，，則一定有（ ）
a、 b、 c、 d、
（提示：若，則
成立，排除c、d選項，作出venn圖，可知a成立）
【練習11】、(07天津理7)在r上定義的函式是偶函式，且。若在區間[1，2]上是減函式，則（ ）
a、在區間[-2，-1]上是增函式，在區間[3，4]上是增函式
b、在區間[-2，-1]上是增函式，在區間[3，4]上是減函式
c、在區間[-2，-1]上是減函式，在區間[3，4]上是增函式
d、在區間[-2，-1]上是減函式，在區間[3，4]上是減函式
（提示：數形結合法，是抽象函式，因此畫出其簡單圖象即可得出結論，如下左圖知選b）
【練習12】、（07山東文11改編）方程的解的取值區間是（ ）
a、（0，1） b、（1，2） c、（2，3） d、（3，4）
（提示：數形結合，在同一座標系中作出函式的圖象，則立刻知選b，如上右圖）
二、特值代驗
包括選取符合題意的特殊數值、特殊位置和特殊圖形，代入或者比照選項來確定答案。這種方法叫做特值代驗法，是一種使用頻率很高的方法。
【例題】、（93年全國高考）在各項均為正數的等比數列中，若，則（ ）
a、12 b、10 c、8 d、
【解析】、思路一（小題大做）：由條件有從而
，所以原式=，選b。
思路二（小題小做）：由知原式=，選b。
思路三（小題巧做）：因為答案唯一，故取乙個滿足條件的特殊數列即可，選b。
【練習1】、（07江西文8）若，則下列命題中正確的是（ ）
a、 b、 c、 d、
（提示：取驗證即可，選b）
【練習2】、（06北京理7）設，則（ ）
a、 b、 c、 d、
（提示：思路一：f（n）是以2為首項，8為公比的等比數列的前項的和，
所以，選d。這屬於直接法。
思路2：令，則，對照選項，只有d成立。）
【練習3】、（06全國1理9）設平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0，如果平面向量b1、b2、b3滿足| bi|=2| ai |，且ai順時針旋轉以後與bi同向，其中i=1、2、3則（ ）
a、-b1+b2+b3=0 b、b1-b2+b3=0 c、b1+b2-b3=0 d、b1+b2+b3=0
（提示：因為a1+a2+a3=0，所以a1、a2、a3構成封閉三角形，不妨設其為正三角形，則bi實際上是將三角形順時針旋轉後再將其各邊延長2倍，仍為封閉三角形，故選d。）
【練習4】、若，則的圖象是（ ）
abcd、
（提示：抓住特殊點2，，所以對數函式是減函式，圖象往左移動乙個單位得，必過原點，選a）
【練習5】、若函式是偶函式，則的對稱軸是（ ）
a、 b、 c、 d、
（提示：因為若函式是偶函式，作乙個特殊函式，則變為，即知的對稱軸是，選c）
【練習6】、已知數列的通項公式為an=2n-1，其前n和為sn，那麼
cn1s1+ cn2s2+…+ cnnsn=（ ）
a、2n-3n b、3n -2n c、5n -2n d、3n -4n
（提示：愚蠢的解法是：先根據通項公式an=2n-1求得和的公式sn，再代入式子cn1s1+ cn2s2+…+ cnnsn，再利用二項式展開式的逆用裂項求和得解，有些書上就是這麼做的！
其實這既然是小題，就應該按照小題的解思路來求做：令n=2，代入式子，再對照選項，選b）
【練習7】、（06遼寧理10）直線與曲線（）的公共點的個數是（ ）
a、1 b、2 c、3 d、4
（提示：取，原方程變為，這是兩個橢圓，與直線有4個公共點，選d）
【練習8】、如圖左，若d、e、f分別是
三稜錐s-abc的側稜sa、sb、sc上的點，
且sd：da=se：eb=cf：fs=2：1，那麼平
面def截三稜錐s-abc所得的上下兩部分
的體積之比為（ ）
a、4：31b、6：23
c、4：23d、2：25
（提示：特殊化處理，不妨設三稜錐s-abc是稜長為3的正三稜錐，k是fc的中點， 分別表示上下兩部分的體積
則，，選c）
【練習9】、△abc的外接圓的圓心為o，兩條邊上的高的交點為h，，則的取值是（ ）
a、-1 b、1 c、-2 d、2
（提示：特殊化處理，不妨設△abc為直角三角形，則圓心o在斜邊中點處，此時有，，選b。）
【練習10】、雙曲線方程為，則的取值範圍是（ ）
a、 b、 c、 d、或
（提示：在選項中選一些特殊值例如代入驗證即可，選d）
三、篩選判斷
包括逐一驗證法——將選項逐一代入條件中進行驗證，或者邏輯排除法，即通過對四個選項之間的內在邏輯關係進行排除與確定。
【例題】、設集合a和b都屬於正整數集，對映f：把集合a中的元素n對映到集合b中的元素，則在對映f下，像20的原像是（ ）
a、2 b、3 c、4 d、5
【解析】、經逐一驗證，在2、3、4、5中，只有4符合方程=20，選c。
【練習1】、（06安徽理6）將函式
的圖象按向量a=平移以後的圖象如圖所示，則
平移以後的圖象所對應的函式解析式是（ ）
a、 b
c、 d、
（提示：若選a或b，則週期為，與圖象所示週期不符；若選d，則與 「按向量a=平移」 不符，選c。此題屬於容易題）
【練習2】、（06重慶理9）如圖，單位圓中的
長度為，表示與弦ab所圍成的弓形的面的
2倍，則函式的圖象是（ ）
abcd、
（提示：解法1 設，則，
則s弓形=s扇形- s△aob=
，當時，
，則，其圖象位於下方；當時，，，其圖象位於上方。所以只有選d。這種方法屬於小題大作。
解法2 結合直覺法逐一驗證。顯然，面積不是弧長的一次函式，排除a；當從很小的值逐漸增大時，的增長不會太快，排除b；只要則必然有面積，排除c，選d。事實上，直覺好的學生完全可以直接選d）
【練習3】、（06天津文8）若橢圓的中心點為e（-1，0），它的乙個焦點為f（-3，0），相應於焦點的準線方程是，則這個橢圓的方程是（ ）
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