函式問題的題型與方法
（一） 對映與函式
1.對映與一一對映
2.函式
函式三要素是定義域，對應法則和值域，而定義域和對應法則是起決定作用的要素，因為這二者確定後，值域也就相應得到確定，因此只有定義域和對應法則二者完全相同的函式才是同一函式.
3.反函式
反函式的定義
設函式的值域是c，根據這個函式中x,y 的關係，用y把x表示出，得到x=(y). 若對於y在c中的任何乙個值，通過x=(y)，x在a中都有唯一的值和它對應，那麼，x=(y)就表示y是自變數，x是自變數y的函式，這樣的函式x=(y) (yc)叫做函式的反函式，記作,習慣上改寫成
（二）函式的性質
1. 函式單調性:
定義：對於函式f(x)的定義域i內某個區間上的任意兩個自變數的值x1,x2,
⑴若當x1⑵若當x1f(x2),則說f(x) 在這個區間上是減函式.
若函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式，則就說函式y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，這一區間叫做函式y=f(x)的單調區間.此時也說函式是這一區間上的單調函式.
單調性性質：(1)、增函式+增函式=增函式；（2）、減函式+減函式=減函式；
(3)、增函式-減函式=增函式；(4)、減函式-增函式=減函式；
注：上述結果中的函式的定義域一般情況下是要變的，是等號左邊兩個函式定義域的交集。
復合函式的單調性：
等價關係：
(1)設那麼
上是增函式；
上是減函式.
(2)設函式在某個區間內可導，如果，則為增函式；如果，則為減函式.
2. 函式的奇偶性：（注：是奇偶函式的前提條件是：定義域必須關於原點對稱）
奇函式：
定義：在前提條件下，若有，則f（x）就是奇函式。
性質:（1）、奇函式的圖象關於原點對稱；
（2）、奇函式在x>0和x<0上具有相同的單調區間；
（3）、定義在r上的奇函式，有f（0）=0 .
偶函式：
定義：在前提條件下，若有，則f（x）就是偶函式。
性質：（1）、偶函式的圖象關於y軸對稱；
（2）、偶函式在x>0和x<0上具有相反的單調區間；
奇偶函式間的關係：新課標第一網
(1)、奇函式·偶函式=奇函式； （2）、奇函式·奇函式=偶函式；
(3)、偶奇函式·偶函式=偶函式； (4)、奇函式±奇函式=奇函式（也有例外得偶函式的）
(5)、偶函式±偶函式=偶函式； (6)、奇函式±偶函式=非奇非偶函式
奇函式的圖象關於原點對稱，偶函式的圖象關於y軸對稱;反過來，如果乙個函式的圖象關於原點對稱，那麼這個函式是奇函式；如果乙個函式的圖象關於y軸對稱，那麼這個函式是偶函式．
3. 函式的週期性：
定義：對函式f（x），若存在t0，使得f（x+t）=f（x），則就叫f（x）是週期函式，
其中，t是f（x）的乙個週期。
週期函式幾種常見的表述形式：
(1)、f（x+t）= - f（x），此時週期為2t ；
（2）、 f（x+m）=f（x+n），此時週期為2 ；
(3)、，此時週期為2m 。
（三）指數函式與對數函式
1.指數函式的圖象和性質
2.對數函式y=logax的圖象和性質:
3. 分數指數冪與根式的性質：
(1)（，且）.
（2）（，且）.
（3）.
（4）當為奇數時，；當為偶數時，.
4. 指數式與對數式的互化式: .
指數性質：
(1)1、 ； （2）、（） ； (3)、
(4)、 ； (5)、 ；
指數函式：
(1)、在定義域內是單調遞增函式；
（2）、在定義域內是單調遞減函式。注： 指數函式圖象都恆過點（0，1）
對數性質：
(1)、；（2）、；
(3)、 ；(4)、； (5)、
(67)、
對數函式：
(1)、在定義域內是單調遞增函式；
（2）、在定義域內是單調遞減函式；注： 對數函式圖象都恆過點（1，0）
(3)、
(4)、或
5. 對數的換底公式 : (,且, ,且,).
對數恒等式： (,且,).
推論(,且,).
6.對數的四則運算法則:若a＞0，a≠1，m＞0，n＞0，則
(1); (2);
(3); (4)。
（四）補充
1.二次函式的解析式的三種形式：
(1) 一般式;
(2) 頂點式;（當已知拋物線的頂點座標時，設為此
式）(3) 零點式；（當已知拋物線與軸的交點座標為時，設為此式）
2.常見函式的影象：
3.對於函式(),恆成立,則函式的對稱軸是;兩個函式與的圖象關於直線對稱.
4. 對稱變換：①y = f（x）
②y =f（x）
③y =f（x）
六．例題講解
例1.已知函式定義域為(0，2)，求下列函式的定義域：
分析：x的函式f(x)是由u=x與f(u)這兩個函式復合而成的復合函式，其中x是自變數，u是中間變數．由於f(x)，f(u)是同乙個函式，故(1)為已知0＜u＜2，即0＜x＜2．求x的取值範圍．
解：(1)由0＜x＜2， 得
例2. 已知xy＜0，並且4x-9y=36．由此能否確定乙個函式關係y=f(x)？如果能，求出其解析式、定義域和值域；如果不能，請說明理由．
分析： 4x-9y=36在解析幾何中表示雙曲線的方程，僅此當然不能確定乙個函式關係y=f(x)，但加上條件xy＜0呢？
所以因此能確定乙個函式關係y=f(x)．其定義域為(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不難得到其值域為(-∞，0)∪(0，＋∞)．
例3. 下面四個結論：①偶函式的圖象一定與y軸相交；②奇函式的圖象一定通過原點；③偶函式的圖象關於y軸對稱；④既是奇函式又是偶函式的函式一定是f(x)=0(x∈r)，其中正確命題的個數是 （ ）a．1 b．2c．3 d．4
分析：偶函式的圖象關於y軸對稱，但不一定相交，因此③正確，①錯誤．
奇函式的圖象關於原點對稱，但不一定經過原點，因此②不正確．
若y=f(x)既是奇函式，又是偶函式，由定義可得f(x)=0，但不一定x∈r，如例1中的(3)，故④錯誤，選a．
例4. 若y=log (2-ax)在［0，1］上是x的減函式，則a的取值範圍是（ ）
a．(0，1) b．(1，2) c．(0，2) d．[2，+∞)
分析：本題存在多種解法，但不管哪種方法，都必須保證：①使log (2-ax)有意義，即a＞0且a≠1，2-ax＞0．②使log (2-ax)在[0，1]上是x的減函式．由於所給函式可分解為y=logu，u=2-ax，其中u=2-ax在a＞0時為減函式，所以必須a＞1；③[0，1]必須是y=log (2-ax)定義域的子集．
解法一：因為f(x)在［0，1］上是x的減函式，所以f(0)＞f(1)，
即log2＞log (2-a)．
解法二：由對數概念顯然有a＞0且a≠1，因此u=2-ax在［0，1］上是減函式，y= logu應為增函式，得a＞1，排除a，c，再令
故排除d，選b．
例5.（2023年全國高考試題）甲、乙兩地相距skm，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c km／h，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(km／h)的平方成正比，比例係數為b；固定部分為a元．
(1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(km／h)的函式，並指出這個函式的定義域；
(2)為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛．
分析：(1)難度不大，抓住關係式：全程運輸成本=單位時間運輸成本×全程運輸時間，而全程運輸時間=(全程距離)÷(平均速度)就可以解決．
故所求函式及其定義域為
但由於題設條件限制汽車行駛速度不超過ckm／h，所以(2)的解決需要
論函式的增減性來解決．
由於vv＞0，v-v＞0，並且
又s＞0，所以即
則當v=c時，y取最小值．
例6．作出下列函式的圖象(1)y=|x-2|(x＋1)；(2)y=10|lgx|．
分析：顯然直接用已知函式的解析式列表描點有些困難，除去對其函式性質分析外，我們還應想到對已知解析式進行等價變形．
解：(1)當x≥2時，即x-2≥0時，
當x＜2時，即x-2＜0時，
這是分段函式，每段函式圖象可根據二次函式圖象作出(見圖6)
(2)當x≥1時，lgx≥0，y=10|lgx|=10lgx=x；
當0＜x＜1時，lgx＜0，
所以這是分段函式，每段函式可根據正比例函式或反比例函式作出．(見圖7)
例8. 已知f(x+199)=4x＋4x+3(x∈r)，那麼函式f(x)的最小值為____．
分析：由f(x＋199)的解析式求f(x)的解析式運算量較大，但這裡我們注意到，y=f(x ＋100)與y=f(x)，其圖象僅是左右平移關係，它們取得
求得f(x)的最小值即f(x＋199)的最小值是2．
例9. 已知函式f(x)，x∈f，那麼集合∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的個數是．（ ）
a．0 b．1 c．0或1 d．1或2
分析：這裡首先要識別集合語言，並能正確把集合語言轉化成熟悉的語言．從函式觀點看，問題是求函式y=f(x)，x∈f的圖象與直線x=1的交點個數(這是一次數到形的轉化)，不少學生常誤認為交點是1個，並說這是根據函式定義中「惟一確定」的規定得到的，這是不正確的，因為函式是由定義域、值域、對應法則三要素組成的．這裡給出了函式y=f(x)的定義域是f，但未明確給出1與f的關係，當1∈f時有1個交點，當1 f時沒有交點，所以選c．
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