一、 函式定義
(1)函式的定義：
設是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則，對於集合中的每乙個數，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那麼這樣的對應叫做從到的乙個函式，通常記為
(2)函式的定義域、值域
在函式中，叫做自變數，的取值範圍叫做的定義域；與的值相對應的值叫做函式值，函式值的集合稱為函式的值域。
二、幾種基本函式
指數函式
1．指數運算
；；； ； ；
2.指數函式：（），定義域r，值域為（）.⑴①當，指數函式：在定義域上為增函式；②當，指數函式：在定義域上為減函式.⑵當時，的值越大，越靠近軸；當時，則相反.
對數函式
1．對數運算：
；；；；；；
2．對數函式：如果（）的次冪等於，就是，數就叫做以為底的的對數，記作（，負數和零沒有對數）；其中叫底數，叫真數.
當時，的值越大，越靠近軸；當時，則相反.
冪函式1、冪函式的概念
一般地，形如的函式稱為冪函式，其中是自變數，是常數
2、冪函式的影象及性質
冪函式的影象在第一象限的分布規律是：
①所有冪函式的影象都過點；
②當時函式的影象都過原點；
③當時，的的影象在第一象限是第一象限的平分線（如）；
④當時，的的影象在第一象限是「凹型」曲線（如）
⑤當時，的的影象在第一象限是「凸型」曲線（如）
⑥當時，的的影象不過原點，且在第一象限是「下滑」曲線（如）
3、重難點問題探析：冪函式性質的拓展
當時，冪函式有下列性質：
（1）圖象都通過點，；
（2）在第一象限內都是增函式；
（3）在第一象限內，時，圖象是向下凸的；時，圖象是向上凸的；
（4）在第一象限內，過點後，圖象向右上方無限伸展。
當時，冪函式有下列性質：
（1）圖象都通過點；
（2）在第一象限內都是減函式，圖象是向下凸的；
（3）在第一象限內，圖象向上與軸無限地接近；向右無限地與軸無限地接近；
（4）在第一象限內，過點後，越大，圖象下落的速度越快。
無論取任何實數，冪函式的圖象必然經過第一象限，並且一定不經過第四象限。
對勾函式法
像y=x+，（m>0）的函式，m<0就是單調函式了
三種模型：（1）如，求（1）單調區間（2）x的範圍[3,5]，求值域（3）x [-1,0 ) (0,4],求值域
2）如，求（1）[3,7]上的值域 （2）單調遞增區間（x0或x4）
（3）如 ， （1）求[-1,1]上的值域 （2）求單調遞增區間
二次函式
1．二次函式的解析式的三種形式：
(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)。
(2)頂點式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k其中(h,k)是拋物線的頂點座標。
(3)兩點式（因式分解）：f(x)=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是拋物線與x軸兩交點的座標。
2．二次函式f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象是一條拋物線，對稱軸，頂點座標
多項式函式
影象穿針引線
二、 考點解析
考點1：求函式解析式
（1）若已知復合函式的解析式，則可用換元法或配湊法；
（2）若已知抽象函式的表示式，則常用解方程組消參的方法求出
例1．（09湖北改編）已知=，則的解析式可取為
例2．已知函式滿足，求
考點2：求函式的定義域
如沒有標明定義域，則認為定義域為使得函式解析式有意義的的取值範圍，實際操作時要注意：① 分母不能為0；② 對數的真數必須為正；③ 偶次根式中被開方數應為非負數；④ 零指數冪中，底數不等於0；⑤ 負分數指數冪中，底數應大於0；⑥ 若解析式由幾個部分組成，則定義域為各個部分相應集合的交集；⑦ 如果涉及實際問題，還應使得實際問題有意義，而且注意：研究函式的有關問題一定要注意定義域優先原則，實際問題的定義域不要漏寫
例3.（08年湖北）函式的定義域為( )
a.;b.；c. ;d.
例4．（2007·湖北）設，則的定義域為（ ）
a. ；b. ；c. ；d.
考點3：求函式的值域
（1）配方法：對於（可化為）「二次函式型」的函式常用配方法，
如求函式，可變為解決
（2）基本函式法：一些由基本函式復合而成的函式可以利用基本函式的值域來求，
如函式就是利用函式和的值域來求。
（3）判別式法：通過對二次方程的實根的判別求值域。
如求函式的值域
（4）分離常數法：常用來求「分式型」函式的值域。 如求函式的值域，因為
（5）利用基本不等式求值域： 如求函式的值域
（6）利用函式的單調性求求值域： 如求函式的值域
（7）圖象法：如果函式的圖象比較容易作出，則可根據圖象直觀地得出函式的值域
（8）導數法――一般適用於高次多項式函式，如求函式，的最小值。（－48）
考點4 函式的單調性
考點5 函式的值域（最值）的求法
求最值的方法：（1）若函式是二次函式或可化為二次函式型的函式，常用配方法。（2）利用函式的單調性求最值：
先判斷函式在給定區間上的單調性，然後利用函式的單調性求最值。（3）基本不等式法：當函式是分式形式且分子分母不同次時常用此法（但有注意等號是否取得）。
（4）導數法：當函式比較複雜時，一般採用此法（5）數形結合法：畫出函式圖象，找出座標的範圍或分析條件的幾何意義，在圖上找其變化範圍。
例5．（2007上海）已知函式當時，求函式的最小值。
例6．（2008廣東）已知函式若對任意恆成立,試求實數的取值範圍。
考點6 判斷函式的奇偶性及其應用
例6 .(09年山東)定義在區間上的函式f (x)滿足：對任意的，都有. 求證f (x)為奇函式；
考點7函式的週期性
考點8 函式奇偶性、週期性的綜合應用
例7 .（09年江蘇題改編）定義在上的偶函式滿足對於恆成立，且，則
四、函式影象
三種圖象變換：平移變換、對稱變換和伸縮變換等等；
①平移變換：
ⅰ、水平平移：函式的影象可以把函式的影象沿軸方向向左或向右平移個單位即可得到；
1）y=f(x)y=f(x+h)；2）y=f(x) y=f(xh)；
ⅱ、豎直平移：函式的影象可以把函式的影象沿軸方向向上或向下平移個單位即可得到；
1）y=f(x) y=f(x)+h；2）y=f(x) y=f(x)h。
②對稱變換：
ⅰ、函式的影象可以將函式的影象關於軸對稱即可得到；
y=f(x) y=f(x)
ⅱ、函式的影象可以將函式的影象關於軸對稱即可得到；
y=f(x) y= f(x)
ⅲ、函式的影象可以將函式的影象關於原點對稱即可得到；
y=f(x) y= f(x)
ⅳ、函式的影象可以將函式的影象關於直線對稱得到。
y=f(x) x=f(y)
ⅴ、函式的影象可以將函式的影象關於直線對稱即可得到；
y=f(x) y=f(2ax)。
③翻摺變換：
ⅰ、函式的影象可以將函式的影象的軸下方部分沿軸翻折到軸上方，去掉原軸下方部分，並保留的軸上方部分即可得到；
ⅱ、函式的影象可以將函式的影象右邊沿軸翻摺到軸左邊替代原軸左邊部分並保留在軸右邊部分即可得到
④伸縮變換：
ⅰ、函式的影象可以將函式的影象中的每一點橫座標不變縱座標伸長或壓縮（）為原來的倍得到；
y=f(x)y=af(x)
ⅱ、函式的影象可以將函式的影象中的每一點縱座標不變橫座標伸長或壓縮（）為原來的倍得到。
f(x)y=f(x)y=f()
例1．（08江蘇理14）
設函式，若對於任意的都有成立，則實數的值為
例2．（2009廣東卷理）已知甲、乙兩車由同一起點同時出發,並沿同一路線（假定為直線）行駛．甲車、乙車的速度曲線分別為（如圖2所示）．那麼對於圖中給定的，下列判斷中一定正確的是
a. 在時刻，甲車在乙車前面
b. 時刻後，甲車在乙車後面
c. 在時刻，兩車的位置相同
d. 時刻後，乙車在甲車前面
例3. (2009山東卷理)函式的影象大致為
例4．已知函式滿足，且當時，，則與的圖象的交點個數為
a、2b、3c、4d、5
例5．（2009江西卷文）如圖所示，一質點在平面上沿曲線運動，
速度大小不變，其在軸上的投影點的運動速度的圖象
大致為abcd
例6．（2008全國文，21）（本小題滿分12分）
設，函式．
（ⅰ）若是函式的極值點，求的值；
（ⅱ）若函式，在處取得最大值，求的取值範圍．
五、函式與方程
例1（2009福建卷文）若函式的零點與的零點之差的絕對值不超過0.25， 則可以是
ab.cd.
一、選擇題：
1. 【2011安徽理】（3）設是定義在r上的奇函式，當時，,則
(a)-3b)-1c) 1d)3
2.【2011安徽理】（10）函式在區間[0,1]上的影象如圖所示，則m,n的值可能是
(a) m=1,n=1b) m=1,n=2c) m=2,n=1 (d) m=3,n=1
3. 【2011北京理】6．根據統計，一名工作組裝第x件某產品所用的時間（單位：分鐘）為（a，c為常數）。
已知工人組裝第4件產品用時30分鐘，組裝第a件產品用時15分鐘，那麼c和a的值分別是
a．75，25 b．75，16 c．60，25d．60，16
4.【2011廣東理】4. 設函式和分別是ｒ上的偶函式和奇函式，則下列結論恆成立的是
ａ．是偶函式是奇函式
ｃ．是偶函式是奇函式
5.【2011湖北理】6．已知定義在r上的奇函式和偶函式滿足（＞0,且）．若，則=
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