第二章函式
1．了解函式的含義及要素，了解對映的概念，會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函式，了解分段函式並會簡單應用；
2．會求一些簡單函式的定義域；
3．會求一些簡單函式的值域。
課標解讀
突破方法
關於函式的基本概念在應用時應注意把重點放在構成它們的幾個要素上，做到概念清楚、思路清晰。
知識點一、函式的基本概念、對映
1．函式的概念（傳統定義、現代定義）
傳統定義：設在某個變化過程中，有兩個變數x和y，如果給定乙個x值，相應地確定唯一的乙個y值，那麼就稱y是x的函式，其中x是自變數，y是因變數，其本質是描述變數之間的依賴關係。
現代定義：一般地，設a、b是兩個非空數集，如果按照某種確定的對於關係f，使對於集合a中的任意乙個數x，在集合b中都有唯一的數f(x)與之對應，那麼就稱f：a→b為從集合a到集合b的乙個函式，記作y=f(x),x∈a。
其中x叫做自變數，x的取值範圍叫做函式的定義域；與x值相對應的y值叫做函式值，函式值的集合｛f(x)︱x∈a｝叫做函式的值域，顯然｛f(x)︱x∈a｝b。
現代定義與傳統對應的本質是一樣的，只是在不同的知識基礎上給出的不同的定義方法，其中現代定義更符合我們的需求。
注意：（1）對於兩個非空集合之間的對應是否可以構成函式，關鍵要看是否滿足函式定義中強調的三性：任意性、存在性、唯一性，這是因為函式定義中明確要求是對於非空數集a中的任意乙個（任意性）元素x，在非空數集b中都有（存在性）唯一（唯一性）的元素y與之對應！
這三性只要有乙個不滿足便不能構成函式。
（2）判斷兩個變數之間是否存在函式關係，只要求檢驗：①定義域與對應法則是否確定；②對於給定的對應法則，自變數x在其定義域內的每乙個值是否只有唯一的乙個y值與之對應。
2．函式的三要素
函式的三要素，即定義域、值域、對應法則；定義域是自變數的取值範圍，是構成函式不可或缺的，對應法則是函式關係的本質，是連線函式定義域與值域的橋梁，值域是函式的值的取值範圍。由函式的定義域與對應法則是可以確定函式的值域，並且是唯一確定的，但是由定義域和值域求解對應法則或者值域和對應法則求解定義域是不一定唯一的。
函式的三要素是構成函式的基礎，所有關於函式的題目都是圍繞著這三個要素展開的。
3．函式的表示方法
函式最常用的表示方法有三種：列表法、圖象法、解析法。通過列出自變數與對應函式值的表來表示函式關係的方法叫做列表法。
列表法具有簡單明瞭、具體易用的特點，缺點是不夠全面。用函式的圖象表示兩個變數之間關係的方法叫做圖象法。圖象法的優點是能夠直觀形象地表示出函式的變化情況。
缺點是只能近似地表示出自變數的值和函式值。把常量和表示自變數的字母用一系列運算符號連線起來得到的式子，叫做解析式（又稱函式關係式）。如果在函式y=f(x)(x∈a)中，f(x)是用代數式（或解析式）表達的，那麼這種表達函式的方法叫做解析法。
解析法的優點有：一是簡明、全面地概括了變數間的關係，二是可以通過解析式求出任意乙個自變數所對應的函式值。
對於函式的三種表示方法，其中列表法是使用最少的，圖象法和解析法大多數時候都是結合在一起進行使用的。
4．對映的概念
設a、b是兩個非空集合，如果按照某種確定的對應關係f，對a中任一元素x，在b中有且只有乙個元素y與x對應，則稱f是集合a到b的對映。這時稱y是x在對映f作用下的象，記作f(x)，x稱作y的原象。對映f也可記作f：
a→ｂ。其中ａ叫做對映ｆ的定義域，由所有象f(x)構成的集合叫做對映f的值域，通常記作f(a)。特別地，如果對映f是集合a到集合b的對映，並且對於集合b中的任一元素，在集合a中都有且只有乙個原象，這時我們說這兩個集合的元素之間存在一一對應關係，並把這個對映叫做從集合a到集合b的一一對映。
對比對映和函式的概念，我們不難看出函式是數集到數集的對映，即對映是函式的推廣，函式是一種特殊的對映。
5．對映的特點
對於對映f：a→b：
中每個元素在b中必有唯一的象；
2.對於a中的不同元素，在b中可以有相同的象；
3.允許b中的元素沒有原象；
中元素與b中元素的對應關係可以是：一對
一、多對一。但是不能是一對多。
6．對映個數公式
對於對映f：a→b來說，a中有m個元素，b中有n個元素，那麼從集合a到集合b可能的對映個數為n^m
7．兩個函式成為同乙個函式的條件
判斷兩個函式是不是同乙個函式即是判斷兩個函式的定義域和對應法則是否相同。
這裡需要注意的是函式關係式的未知數不同不能決定兩個函式不是同乙個函式，即對於函式y=f(x)與函式m=f(n)來說，字母不同不能說它們就不是同一函式。
8．區間的概念
區間的產生是為了更方便的表示數範圍的概念，畢竟對於一些複雜的集合表示起來是很麻煩的。區間的基本原理是數軸上的點與實數是一一對應的，因此可以使用數軸上的點的刻度來表示數集。
設a、b是兩個實數，a＜b，我們規定：
1.滿足全體實數a≤x≤b的集合，叫做閉區間，記作[a，b]；
2.滿足全體實數a3.滿足全體實數a≤x4.
滿足全體實數a其實實數a、b叫做相應區間的端點，為了區別開閉的端點，我們規定用實心點表示包括區間在內的端點，用空心點表示不包括在區間內的端點。
注意：（1）區間的左端點必須小於右端點，有時我們稱b-a為區間長度，對於只有乙個元素的集合我們仍然用集合來表示，如；
（2）對於乙個點的集合，可以在數軸上用乙個實心點表示；
（3）由於區間是集合的一種形式，因此對於集合的運算仍然成立。
二、函式的定義域
函式的定義域主要分為三種基本情況，即給定函式定義域、使函式解析式有意義和實際問題中的函式定義域。
我們通常要注意的是第二種情況，使函式解析式有意義，那麼常見的型別有：
(1)若f(x)是整式，則定義域為r；
(2) 若f(x)是分式，則其定義域為使分母不等於0的實數集；
(3) 若f(x)為偶次根式，，則其定義域是使得根號內的式子大於等於0 的實數的集合；(
4) 若f(x)是對數式，則其定義域是使得對數的真數大於0，底數大於0且不等於1的實數的集合；
(5) 若f(x)是指數式，則其定義域是使得指數的底數大於0且不等於1的實數的集合；
（6）0次冪的底數不為0；
(7) 若f(x)中含有正切（餘切）函式，那麼其定義域是（）；
（8）另外，對於實際問題的函式的定義域要考慮實際問題的具體條件。
三、函式的值域
1. 觀察法
通過對函式定義域、性質的觀察，結合函式的解析式，求得函式的值域。
2．影象法
對於常見的基本初等函式，或者由其經簡單變換所得的函式，或用導數研究極值點及單調區間後，可通過畫示意圖、擷取、觀察得值域，這是值域中的重點內容
3．單調性法
利用函式的單調性求函式的值域，一般是已知基本函式的單調性。
4．復合函式
對於復合函式的定義域的求解分為兩種情況，首先我們要知道函式f(g(x))定義域是指表示式中x的取值範圍，所以：（1）已知f(x)的定義域為d，求f(g(x))的定義域，只需令g(x)∈d,解得x的集合即為定義域；（2）已知f(g(x))的定義域為d，求f(x)的定義域，只需要求g(x)在x∈d上的值域即可。
5．換元法
常見的換元有兩種：一是代數換元。形如，可設，轉化為二次函式求值域。二是三角換元。形如。
6．利用式子或變數的有界性
常見的如三角函式的有界性；平方式、根式等的有界性等，都是考察這一內容。
7．幾何法
這是一種很特殊的求解函式值域的方法，通常用於求解分式函式的值域或者可以轉化為求距離等圖形的函式的值域。
8．均值不等式法
利用均值不等式，使用這一方法時必須滿足「一正、二定、三相等」的條件，如果條件不滿足，尤其是「相等」的條件無法滿足時，可以考慮使用函式單調性來求解。
9．導數法
對於非基本函式，常見的如高次整式函式，可以通過求函式導數的方法來求解函式的值域。
10．反函式法
當函式的反函式存在時，則其反函式的定義域就是原函式的值域。
11．配方法
當所給函式是二次函式或可化為二次函式的復合函式時,可以利用配方法求函式值域。
12．判別式法
若可化為關於某變數的二次方程的分式函式或無理函式,可用判別式法求函式的值域。例如求函式y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域
13.分離常數法
若函式解析式為分子，且分子，分母是關於自變數的一次因式或同角三角函式關係式時，常採用分離常數法。
四、分段函式
解決分段函式的基本原則是分段進行。對於實際應用題應根據題意確定好分段點，在每一段上分析出其解析式。對於分段函式的最值問題，一般是將每一段上的最值分別求出，其中的最大值就是整個函式的最大值，其中的最小值就是整個函式的最小值。
疑難點1．函式f(x)與函式值f(a)的含義
2．求定義域，要辨明自變數
3．使用換元法後要注意「新元」的取值範圍
4．函式的值域是集合b的子集
5．求定義域是使用交集；定義域用集合或區間表示
6．函式的三種表示法
7．函式解析式化簡要等價
2.2 函式的基本性質
課標要求
1．理解函式單調性、最大（小）值及其幾何意義，會運用圖象理解和研究函式性質；
2．了解函式的奇偶性及其圖象的對稱性，會判斷函式的奇偶性；
3．理解週期函式及最小正週期的意義；
4．能綜合研究函式性質。
課標解讀
突破方法
1、討論單調性要在函式定義域內
2、根據定義證明函式單調性的一般步驟
3、判別單調性可用導數解決
4、討論復合函式單調性的根據，復合函式單調性的判斷方法
5、抽象函式的單調性及最值
高考數學基礎知識彙總
第一部分集合 1 含n個元素的集合的子集數為2 n,真子集數為2 n 1 非空真子集的數為2 n 2 2 注意 討論的時候不要遺忘了的情況。3 第二部分函式與導數 1 對映 注意 第乙個集合中的元素必須有象 一對一，或多對一。2 函式值域的求法 分析法 配方法 判別式法 利用函式單調性 換元法 利用...
高考數學基礎知識彙總
第一部分集合 1 含n個元素的集合的子集數為2 n,真子集數為2 n 1 非空真子集的數為2 n 2 2 注意 討論的時候不要遺忘了的情況。3 第二部分函式與導數 1 對映 注意 第乙個集合中的元素必須有象 一對一，或多對一。2 函式值域的求法 分析法 配方法 判別式法 利用函式單調性 換元法 利用...
2023年高考數學常見考點彙總函式
考試內容 數學探索版權所有對映 函式 函式的單調性 奇偶性 數學探索版權所有反函式 互為反函式的函式影象間的關係 數學探索版權所有指數概念的擴充 有理指數冪的運算性質 指數函式 數學探索版權所有考試要求 數學探索版權所有了解對映的概念，理解函式的概念 數學探索版權所有了解函式單調性 奇偶性的概念，掌...