函式概念
（一）知識梳理
1．對映的概念
設是兩個集合，如果按照某種對應法則，對於集合中的任意元素，在集合中都有唯一確定的元素與之對應，那麼這樣的單值對應叫做從到的對映，通常記為 ，f表示對應法則
注意：⑴a中元素必須都有象且唯一；
⑵b中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
2．函式的概念
(1)函式的定義：
設是兩個非空的數集，如果按照某種對應法則，對於集合中的每乙個數，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那麼這樣的對應叫做從到的乙個函式，通常記為
(2)函式的定義域、值域
在函式中，叫做自變數，的取值範圍叫做的定義域；與的值相對應的值叫做函式值，函式值的集合稱為函式的值域。
(3)函式的三要素：定義域、值域和對應法則
3．函式的三種表示法：圖象法、列表法、解析法
（1）．圖象法：就是用函式圖象表示兩個變數之間的關係；
（2）．列表法：就是列出**來表示兩個變數的函式關係；
(3)．解析法：就是把兩個變數的函式關係，用等式來表示。
4．分段函式
在自變數的不同變化範圍中，對應法則用不同式子來表示的函式稱為分段函式。
（二）考點分析
考點1：對映的概念
例1．（1），，；
（2），，；
（3），，．
上述三個對應是到的對映．
例2．若，，，則到的對映有個，到的對映有個，到的函式有個
例3．設集合，，如果從到的對映滿足條件：對中的每個元素與它在中的象的和都為奇數，則對映的個數是（ ）
8個12個16個18個
答案：1.（2）；2．81,64,81；3.
考點2：判斷兩函式是否為同乙個函式
例1． 試判斷以下各組函式是否表示同一函式？
（1），；
（2），
（3），（n∈n*）；
（4），；
（5），
[答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函式
考點3：求函式解析式
方法總結：（1）若已知函式的型別（如一次函式、二次函式），則用待定係數法；
（2）若已知復合函式的解析式，則可用換元法或配湊法；
（3）若已知抽象函式的表示式，則常用解方程組消參的方法求出
題型1：由復合函式的解析式求原來函式的解析式
例1．已知二次函式滿足，求.
例2．（09湖北改編）已知=，則的解析式可取為
題型2：求抽象函式解析式
例1．已知函式滿足，求
考點4：求函式的定義域
題型1：求有解析式的函式的定義域
（1）方法總結：如沒有標明定義域，則認為定義域為使得函式解析式有意義的的取值範圍，實際操作時要注意：① 分母不能為0；② 對數的真數必須為正；③ 偶次根式中被開方數應為非負數；④ 零指數冪中，底數不等於0；⑤ 負分數指數冪中，底數應大於0；⑥ 若解析式由幾個部分組成，則定義域為各個部分相應集合的交集；⑦ 如果涉及實際問題，還應使得實際問題有意義，而且注意：
研究函式的有關問題一定要注意定義域優先原則，實際問題的定義域不要漏寫。
例1.（08年湖北）函式的定義域為( )
a.;b.；c. ;d.
答案：題型2：求復合函式和抽象函式的定義域
例1．（2007·湖北）設，則的定義域為（ ）
a. ；b. ；c. ；d.
答案：b.
例2．已知函式的定義域為，求的定義域
例3．已知的定義域是，求函式的定義域
例4．已知的定義域是（-2，0），求的定義域(-3考點5：求函式的值域
1． 求值域的幾種常用方法
（1）配方法：對於（可化為）「二次函式型」的函式常用配方法，
如求函式，可變為解決
（2）基本函式法：一些由基本函式復合而成的函式可以利用基本函式的值域來求，
如函式就是利用函式和的值域來求。
（3）判別式法：通過對二次方程的實根的判別求值域。
如求函式的值域
（4）分離常數法：常用來求「分式型」函式的值域。 如求函式的值域，因為
（5）利用基本不等式求值域： 如求函式的值域
（6）利用函式的單調性求求值域： 如求函式的值域
（7）圖象法：如果函式的圖象比較容易作出，則可根據圖象直觀地得出函式的值域
（8）導數法――一般適用於高次多項式函式，如求函式，的最小值。（－48）
（9）對勾函式法像y=x+，（m>0）的函式，m<0就是單調函式了
三種模型：（1）如，求（1）單調區間（2）x的範圍[3,5]，求值域（3）x [-1,0 ) (0,4],求值域
2）如，求（1）[3,7]上的值域 （2）單調遞增區間（x0或x4）
（3）如 ， （1）求[-1,1]上的值域 （2）求單調遞增區間
函式的單調性
（一）知識梳理
1、函式的單調性定義：
設函式的定義域為，區間，如果對於區間內的任意兩個值，，當時，都有，那麼就說在區間上是單調增函式，稱為的單調增區間；如果對於區間內的任意兩個值，，當時，都有，那麼就說在區間上是單調減函式，稱為的單調減區間。
如果用導數的語言來，那就是：設函式，如果在某區間上，那麼為區間上的增函式；如果在某區間上，那麼為區間上的減函式；
2、確定函式的單調性或單調區間的常用方法：
（1）①定義法（取值――作差――變形――定號）；②導數法（在區間內，若總有，則為增函式；反之，若在區間內為增函式，則，
（2）在選擇填空題中還可用數形結合法、特殊值法等等，特別要注意,型函式的圖象和單調性在解題中的運用：增區間為，減區間為.
（3）復合函式法：復合函式單調性的特點是同增異減
（4）若與在定義域內都是增函式（減函式），那麼在其公共定義域內是增函式（減函式）。
3、單調性的說明：
（1）函式的單調性只能在函式的定義域內來討論,所以求函式的單調區間,必須先求函式的定義域；
（2）函式單調性定義中的，有三個特徵：一是任意性；二是大小，即；三是同屬於乙個單調區間，三者缺一不可；
（3）函式的單調性是對某個區間而言的，所以受到區間的限制，如函式分別在和內都是單調遞減的，但是不能說它在整個定義域即內是單調遞減的，只能說函式的單調遞減區間為和。
4、函式的最大（小）值
設函式的定義域為，如果存在定值，使得對於任意，有恆成立，那麼稱為的最大值；如果存在定值，使得對於任意，有恆成立，那麼稱為的最小值。
（二）考點分析
考點1 函式的單調性
題型1：討論函式的單調性
例1．（1）求函式的單調區間；
（2）已知若試確定的單調區間和單調性．
解：（1）單調增區間為：單調減區間為，
（2），，
令，得或，令，或
∴單調增區間為；單調減區間為．
例2. 判斷函式f(x)=在定義域上的單調性.
解： 函式的定義域為,
則f(x)= ,
可分解成兩個簡單函式.
f(x)= =x2-1的形式.當x≥1時，u(x)為增函式，為增函式.
∴f（x）=在［1，+∞)上為增函式.當x≤-1時，u（x)為減函式，為減函式，
∴f(x)=在（-∞,-1］上為減函式.
題型2：研究抽象函式的單調性
例1．已知函式的定義域是的一切實數，對定義域內的任意都有，且當時，
（1）求證：是偶函式；（2）在上是增函式；（3）解不等式．
解：（1）令，得，∴，令，得∴，
∴，∴是偶函式．
（2）設，則
∵，∴，∴，即，∴
∴在上是增函式．
（3），∴，
∵是偶函式∴不等式可化為，
又∵函式在上是增函式，∴，解得：，
即不等式的解集為．
題型3：函式的單調性的應用
例1．若函式在區間（－∞，4] 上是減函式，那麼實數的取值範圍是______(答：）)；
例2．已知函式在區間上為增函式，則實數的取值範圍_____（答：）；
考點2 函式的值域（最值）的求法
求最值的方法：（1）若函式是二次函式或可化為二次函式型的函式，常用配方法。（2）利用函式的單調性求最值：
先判斷函式在給定區間上的單調性，然後利用函式的單調性求最值。（3）基本不等式法：當函式是分式形式且分子分母不同次時常用此法（但有注意等號是否取得）。
（4）導數法：當函式比較複雜時，一般採用此法（5）數形結合法：畫出函式圖象，找出座標的範圍或分析條件的幾何意義，在圖上找其變化範圍。
題型1：求分式函式的最值
例1．（2007上海）已知函式當時，求函式的最小值。
[解析]當時，
，。在區間上為增函式。
在區間上的最小值為。
題型2：利用函式的最值求引數的取值範圍
例2．（2008廣東）已知函式若對任意恆成立,試求實數的取值範圍。
[解析]在區間上恆成立；在區間上恆成立；在區間上恆成立；函式在區間上的最小值為3， 即
函式的奇偶性
（一）知識梳理
1、函式的奇偶性的定義：①對於函式的定義域內任意乙個，都有〔或〕，則稱為奇函式. 奇函式的圖象關於原點對稱。
②對於函式的定義域內任意乙個，都有〔或〕，則稱為偶函式. 偶函式的圖象關於軸對稱。
③通常採用影象或定義判斷函式的奇偶性. 具有奇偶性的函式，其定義域關於原點對稱（也就是說，函式為奇函式或偶函式的必要條件是其定義域關於原點對稱）
2.函式的奇偶性的判斷：
（1）可以利用奇偶函式的定義判斷
（2）利用定義的等價形式,，（）
（3）影象法：奇函式的圖象關於原點對稱；偶函式的圖象關於軸對稱
3．函式奇偶性的性質：
（1）奇函式在關於原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性完全相同；偶函式在關於原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性恰恰相反.
（2）若奇函式定義域中含有0，則必有.故是為奇函式的既不充分也不必要條件。
（3）定義在關於原點對稱區間上的任意乙個函式，都可表示成「乙個奇函式與乙個偶函式的和（或差）」。如設是定義域為r的任一函式，，。
（4）復合函式的奇偶性特點是：「內偶則偶，內奇同外」.
（5）設，的定義域分別是，那麼在它們的公共定義域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．
（二）考點分析
考點1 判斷函式的奇偶性及其應用
題型1：判斷有解析式的函式的奇偶性
例1． 判斷下列函式的奇偶性：
（1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·；
（3）；（4）
題型2：證明抽象函式的奇偶性
例1 .(09年山東)定義在區間上的函式f (x)滿足：對任意的，都有. 求證f (x)為奇函式；
高考數學知識點之函式
考試內容 數學探索版權所有對映 函式 函式的單調性 奇偶性 數學探索版權所有反函式 互為反函式的函式影象間的關係 數學探索版權所有指數概念的擴充 有理指數冪的運算性質 指數函式 數學探索版權所有對數 對數的運算性質 對數函式 數學探索版權所有函式的應用 數學探索版權所有考試要求 數學探索版權所有了解...
高考數學知識點之函式
函式知識要點 知識回顧 一 對映與函式 1.對映與一一對映 2.函式 函式三要素是定義域，對應法則和值域，而定義域和對應法則是起決定作用的要素，因為這二者確定後，值域也就相應得到確定，因此只有定義域和對應法則二者完全相同的函式才是同一函式.3.反函式 反函式的定義 設函式的值域是c，根據這個函式中x...
2019屆高考數學必看之知識點總結函式
高中數學第二章 函式 考試內容 數學探索版權所有對映 函式 函式的單調性 奇偶性 數學探索版權所有反函式 互為反函式的函式影象間的關係 數學探索版權所有指數概念的擴充 有理指數冪的運算性質 指數函式 數學探索版權所有對數 對數的運算性質 對數函式 數學探索版權所有函式的應用 數學探索版權所有考試要求...