高中數學第二章-函式
考試內容：
數學探索版權所有對映、函式、函式的單調性、奇偶性．
數學探索版權所有反函式．互為反函式的函式影象間的關係．
數學探索版權所有指數概念的擴充．有理指數冪的運算性質．指數函式．
數學探索版權所有對數．對數的運算性質．對數函式．
數學探索版權所有函式的應用．
數學探索版權所有考試要求：
數學探索版權所有了解對映的概念，理解函式的概念．
數學探索版權所有了解函式單調性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函式的單調性、奇偶性的方法．
數學探索版權所有了解反函式的概念及互為反函式的函式影象間的關係，會求一些簡單函式的反函式．
數學探索版權所有理解分數指數冪的概念，掌握有理指數冪的運算性質，掌握指數函式的概念、影象和性質．
數學探索版權所有理解對數的概念，掌握對數的運算性質；掌握對數函式的概念、影象和性質．
數學探索版權所有能夠運用函式的性質、指數函式和對數函式的性質解決某些簡單的實際問題．
02. 函式知識要點
一、本章知識網路結構：
二、知識回顧：
（一） 對映與函式
1. 對映與一一對映
2.函式
函式三要素是定義域，對應法則和值域，而定義域和對應法則是起決定作用的要素，因為這二者確定後，值域也就相應得到確定，因此只有定義域和對應法則二者完全相同的函式才是同一函式.
3.反函式
反函式的定義
設函式的值域是c，根據這個函式中x,y 的關係，用y把x表示出，得到x=(y). 若對於y在c中的任何乙個值，通過x=(y)，x在a中都有唯一的值和它對應，那麼，x=(y)就表示y是自變數，x是自變數y的函式，這樣的函式x=(y) (yc)叫做函式的反函式，記作,習慣上改寫成
（二）函式的性質
⒈函式的單調性
定義：對於函式f(x)的定義域i內某個區間上的任意兩個自變數的值x1,x2,
⑴若當x1⑵若當x1f(x2),則說f(x) 在這個區間上是減函式.
若函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式，則就說函式y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，這一區間叫做函式y=f(x)的單調區間.此時也說函式是這一區間上的單調函式.
2.函式的奇偶性
7. 奇函式，偶函式：
⑴偶函式：
設（）為偶函式上一點，則（）也是圖象上一點.
偶函式的判定：兩個條件同時滿足
①定義域一定要關於軸對稱，例如：在上不是偶函式.
②滿足，或，若時，.
⑵奇函式：
設（）為奇函式上一點，則（）也是圖象上一點.
奇函式的判定：兩個條件同時滿足
①定義域一定要關於原點對稱，例如：在上不是奇函式.
②滿足，或，若時，.
8. 對稱變換：①y = f（x）
②y =f（x）
③y =f（x）
9. 判斷函式單調性（定義）作差法：對帶根號的一定要分子有理化，例如：
在進行討論.
10. 外層函式的定義域是內層函式的值域.
例如：已知函式f（x）= 1+的定義域為a，函式f[f（x）]的定義域是b，則集合a與集合b之間的關係是
解：的值域是的定義域，的值域，故，而a，故.
11. 常用變換：
①.證：②證：
12. ⑴熟悉常用函式圖象：
例：→關於軸對稱
→關於軸對稱.
⑵熟悉分式圖象：
例：定義域，
值域→值域前的係數之比.
（三）指數函式與對數函式
指數函式的圖象和性質
對數函式y=logax的圖象和性質:
對數運算：
（以上）
注⑴：當時，.
⑵：當時，取「+」，當是偶數時且時，，而，故取「—」.
例如：中x＞0而中x∈r）.
⑵（）與互為反函式.
當時，的值越大，越靠近軸；當時，則相反.
（四）方法總結
⑴.相同函式的判定方法：定義域相同且對應法則相同.
⑴對數運算：
（以上）
注⑴：當時，.
⑵：當時，取「+」，當是偶數時且時，，而，故取「—」.
例如：中x＞0而中x∈r）.
⑵（）與互為反函式.
當時，的值越大，越靠近軸；當時，則相反.
⑵.函式表示式的求法：①定義法；②換元法；③待定係數法.
⑶.反函式的求法：先解x,互換x、y，註明反函式的定義域(即原函式的值域).
⑷.函式的定義域的求法：布列使函式有意義的自變數的不等關係式，求解即可求得函式的定義域.
常涉及到的依據為①分母不為0；②偶次根式中被開方數不小於0；③對數的真數大於0，底數大於零且不等於1；④零指數冪的底數不等於零；⑤實際問題要考慮實際意義等.
⑸.函式值域的求法：①配方法(二次或四次)；②「判別式法」；③反函式法；④換元法；⑤不等式法；⑥函式的單調性法.
⑹.單調性的判定法：①設x,x是所研究區間內任兩個自變數，且x＜x；②判定f(x)與f(x)的大小；③作差比較或作商比較.
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關於原點對稱，再計算f(-x)與f(x)之間的關係：
①f(-x)=f(x)為偶函式；f(-x)=-f(x)為奇函式；②f(-x)-f(x)=0為偶；f(x)+f(-x)=0為奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1為奇函式.
⑻.圖象的作法與平移：①據函式表示式，列表、描點、連光滑曲線；②利用熟知函式的圖象的平移、翻轉、伸縮變換；③利用反函式的圖象與對稱性描繪函式圖象.
［例1］求經過兩點p1（2，1）和p2（m，2）（m∈r)的直線l的斜率，並且求出l的傾斜角α及其取值範圍.
選題意圖：考查傾斜角與斜率之間的關係及斜率公式.
解：(1)當m=2時，x1＝x2＝2，∴直線l垂直於x軸，因此直線的斜率不存在，傾斜角α=
(2)當m≠2時，直線l的斜率k=∵m＞2時，k＞0.
∴α=arctan,α∈（0，），
∵當m＜2時，k＜0
∴α＝π＋arctan，α∈(,π).
說明：利用斜率公式時，應注意斜率公式的應用範圍.
［例2］若三點a(－2，3），b（3，－2），c（，m）共線，求m的值.
選題意圖：考查利用斜率相等求點的座標的方法.
解：∵a、b、c三點共線，
∴ｋab＝ｋac，
解得m=.
說明：若三點共線，則任意兩點的斜率都相等，此題也可用距離公式來解.
［例3］已知兩點a(－1,－5),b(3,－2),直線l的傾斜角是直線ab傾斜角的一半，求直線l的斜率.
選題意圖：強化斜率公式.
解：設直線l的傾斜角α，則由題得直線ab的傾斜角為2α.
∵tan2α=ｋab=
即3tan2α+8tanα－3=0，
解得tanα＝或tanα＝－3.
∵tan2α＝＞0,∴0°＜2α＜90°,
0°＜α＜45°，
∴tanα＝.
因此，直線l的斜率是
說明：由2α的正切值確定α的範圍及由α的範圍求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.
命題否定的典型錯誤及製作
在教材的第一章安排了《常用邏輯用語》的內容．從課本內容安排上看，顯得較容易，但是由於對邏輯聯結詞不能做到正確理解，在解決這部分內容涉及的問題時容易出錯．下面僅對命題的否定中典型錯誤及常見製作方法加以敘述．
一、典型錯誤剖析
錯誤1——認為命題的否定就是否定原命題的結論
在命題的否定中，有許多是把原命題中的結論加以否定．如命題：是無理數，其否定是：不是無理數．但據此就認為命題的否定就是否定原命題的結論就錯了．
例1 寫出下列命題的否定：
⑴ 對於任意實數x，使x2＝1；
⑵ 存在乙個實數x，使x2＝1．
錯解：它們的否定分別為
⑴ 對於任意實數x，使x2≠1；
⑵ 存在乙個實數x，使x2≠1．
剖析：對於⑴是全稱命題，要否定它只要存在乙個實數x，使x2≠1即可；對於⑵是存在命題，要否定它必須是對所有實數x，使x2≠1．
正解：⑴存在乙個實數x，使x2≠1；
⑵對於任意實數x，使x2≠1．
錯誤2——認為命題的否定就是原命題中的判斷詞改和其意義相反的判斷詞
在命題的否定中，有許多是把原命題中的判斷詞改為相反意義的詞，如「是」改為「不是」、「等」改為「不等」、「大於」改為「小於或等於」等．但對於聯言命題及選言命題，還要把邏輯聯結詞「且」與「或」互換．
例2 寫出下列命題的否定：
⑴ 線段ab與cd平行且相等；
⑵ 線段ab與cd平行或相等．
錯解：⑴ 線段ab與cd不平行且不相等；
⑵ 線段ab與cd不平行或不相等．
剖析：對於⑴是聯言命題，其結論的含義為：「平行且相等」，所以對原命題結論的否定除「不平行且不相等」外，還應有「平行且不相等」、「不平行且相等」；而⑵是選言命題，其結論包含「平行但不相等」、「不平行但相等」、「平行且相等」三種情況，故否定就為「不平行且不相等」．
正解：⑴ 線段ab與cd不平行或不相等；
⑵ 線段ab與cd不平行且不相等．
錯誤3——認為「都不是」是「都是」的否定
例3 寫出下列命題的否定：
⑴ a，b都是零；
⑵ 高一(一)班全體同學都是共青團員．
錯解：⑴ a，b都不是零；
⑵ 高一(一)班全體同學都不是共青團員．
剖析：要注意「都是」、「不都是」、「都不是」三者的關係，其中「都是」的否定是「不都是」，「不都是」包含「都不是」；「至少有乙個」的否定是「乙個也沒有」．
正解：⑴a，b不都是零，即「a，b中至少有乙個不是零」．
⑵ 高一(一)班全體同學不都是共青團員，或寫成：高一(一)班全體同學中至少有一人共青團員．
錯誤4——認為「命題否定」就是「否命題」
根據邏輯學知識，任一命題p都有它的否定(命題)非p(也叫負命題、反命題)；而否命題是就假言命題(若p則q)而言的．如果乙個命題不是假言命題，就無所謂否命題，也就是說，我們就不研究它的否命題．我們應清醒地認識到：假言命題「若p則q」的否命題是「若非p則非q」，而「若p則q」的否定(命題)則是「p且非q」，而不是「若p則非q」．
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