高中數學第四章-三角函式
考試內容：
數學探索版權所有角的概念的推廣．弧度制．
數學探索版權所有任意角的三角函式．單位圓中的三角函式線．同角三角函式的基本關係式.正弦、余弦的誘導公式．
數學探索版權所有兩角和與差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．
數學探索版權所有正弦函式、余弦函式的影象和性質．週期函式．函式y=asin(ωx+φ)的影象．正切函式的影象和性質．已知三角函式值求角．
數學探索版權所有正弦定理．餘弦定理．斜三角形解法．
數學探索版權所有考試要求：
數學探索版權所有理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進行弧度與角度的換算．
數學探索版權所有掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解餘切、正割、餘割的定義；掌握同角三角函式的基本關係式；掌握正弦、余弦的誘導公式；了解週期函式與最小正週期的意義．
數學探索版權所有掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．
數學探索版權所有能正確運用三角公式，進行簡單三角函式式的化簡、求值和恒等式證明．
數學探索版權所有理解正弦函式、余弦函式、正切函式的影象和性質，會用「五點法」畫正弦函式、余弦函式和函式y=asin(ωx+φ)的簡圖，理解a.ω、φ的物理意義．
數學探索版權所有會由已知三角函式值求角，並會用符號arcsinx\arc-cosx\arctanx表示．
數學探索版權所有掌握正弦定理、餘弦定理，並能初步運用它們解斜三角形．
數學探索版權所有同角三角函式基本關係式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanαcosα=1」．
§04. 三角函式知識要點
1. ①與（0°≤＜360°）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）：
②終邊在x軸上的角的集合：
③終邊在y軸上的角的集合：
④終邊在座標軸上的角的集合：
⑤終邊在y=x軸上的角的集合：
⑥終邊在軸上的角的集合：
⑦若角與角的終邊關於x軸對稱，則角與角的關係：
⑧若角與角的終邊關於y軸對稱，則角與角的關係：
⑨若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關係：
⑩角與角的終邊互相垂直，則角與角的關係：
2. 角度與弧度的互換關係：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零.
、弧度與角度互換公式： 1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝≈0.01745（rad）
3、弧長公式：. 扇形面積公式：
4、三角函式：設是乙個任意角，在的終邊上任取（異於原點的）一點p（x,y）p與原點的距離為r，則
5、三角函式在各象限的符號：（一全二正弦，三切四余弦）
6、三角函式線
正弦線：mp; 余弦線：om; 正切線： at.
7. 三角函式的定義域：
8、同角三角函式的基本關係式：
9、誘導公式：
「奇變偶不變，符號看象限」
三角函式的公式：（一）基本關係
公式組二公式組三
公式組四公式組五公式組六
（二）角與角之間的互換
公式組一公式組二
公式組三公式組四公式組五
,,,.
10. 正弦、余弦、正切、餘切函式的圖象的性質：
注意：①與的單調性正好相反；與的單調性也同樣相反.一般地，若在上遞增（減），則在上遞減（增）.
②與的週期是.
③或（）的週期.
的週期為2（，如圖，翻摺無效）.
④的對稱軸方程是（），對稱中心（）；的對稱軸方程是（），對稱中心（）；的對稱中心（）.
⑤當·；·.
⑥與是同一函式,而是偶函式，則
.⑦函式在上為增函式.（×） [只能在某個單調區間單調遞增. 若在整個定義域，為增函式，同樣也是錯誤的].
⑧定義域關於原點對稱是具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個條件：一是定義域關於原點對稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函式：，奇函式：）
奇偶性的單調性：奇同偶反. 例如：是奇函式，是非奇非偶.（定義域不關於原點對稱）
奇函式特有性質：若的定義域，則一定有.（的定義域，則無此性質）
⑨不是週期函式；為週期函式（）；
是週期函式（如圖）；為週期函式（）；
的週期為（如圖），並非所有週期函式都有最小正週期，例如：
.⑩ 有.
11、三角函式圖象的作法：
１）、幾何法：
２）、描點法及其特例——五點作圖法（正、余弦曲線），三點二線作圖法（正、餘切曲線）.
３）、利用圖象變換作三角函式圖象．
三角函式的圖象變換有振幅變換、週期變換和相位變換等．
函式y＝asin（ωx＋φ）的振幅|a|，週期，頻率，相位初相（即當x＝0時的相位）．（當a＞0，ω＞0 時以上公式可去絕對值符號），
由y＝sinx的圖象上的點的橫座標保持不變，縱座標伸長（當|a|＞1）或縮短（當0＜|a|＜1）到原來的|a|倍，得到y＝asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換．（用y/a替換y）
由y＝sinx的圖象上的點的縱座標保持不變，橫座標伸長（0＜|ω|＜1）或縮短（|ω|＞1）到原來的倍，得到y＝sinω x的圖象，叫做週期變換或叫做沿x軸的伸縮變換．(用ωx替換x)
由y＝sinx的圖象上所有的點向左（當φ＞0）或向右（當φ＜0）平行移動｜φ｜個單位，得到y＝sin（x＋φ）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移．(用x＋φ替換x)
由y＝sinx的圖象上所有的點向上（當b＞0）或向下（當b＜0）平行移動｜b｜個單位，得到y＝sinx＋b的圖象叫做沿y軸方向的平移．（用y+(-b)替換y）
由y＝sinx的圖象利用圖象變換作函式y＝asin（ωx＋φ）（a＞0，ω＞0）（x∈r）的圖象，要特別注意：當週期變換和相位變換的先後順序不同時，原圖象延x軸量伸縮量的區別。
4、反三角函式：
函式y＝sinx，的反函式叫做反正弦函式，記作y＝arcsinx，它的定義域是［－1，1］，值域是．
函式y＝cosx，（x∈［0，π］）的反應函式叫做反余弦函式，記作y＝arccosx，它的定義域是［－1，1］，值域是［0，π］．
函式y＝tanx，的反函式叫做反正切函式，記作y＝arctanx，它的定義域是（－∞，＋∞），值域是．
函式y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函式叫做反餘切函式，記作y＝arcctgx，它的定義域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．
ii. 競賽知識要點
一、反三角函式.
1. 反三角函式：⑴反正弦函式是奇函式，故，（一定要註明定義域，若，沒有與一一對應，故無反函式）
注：，，.
⑵反余弦函式非奇非偶，但有，.
注：①，，.
②是偶函式，非奇非偶，而和為奇函式.
⑶反正切函式：，定義域，值域（），是奇函式，
，.注：，.
⑷反餘切函式：，定義域，值域（），是非奇非偶.
，.注：①，.
②與互為奇函式，同理為奇而與非奇非偶但滿足.
⑵ 正弦、余弦、正切、餘切函式的解集：
的取值範圍解集的取值範圍解集
①的解集的解集
＞11=11
＜11③的解集：
③的解集：
二、三角恒等式.
組一組二
組三三角函式不等式
在上是減函式
若，則［例1］求經過兩點p1（2，1）和p2（m，2）（m∈r)的直線l的斜率，並且求出l的傾斜角α及其取值範圍.
選題意圖：考查傾斜角與斜率之間的關係及斜率公式.
解：(1)當m=2時，x1＝x2＝2，∴直線l垂直於x軸，因此直線的斜率不存在，傾斜角α=
(2)當m≠2時，直線l的斜率k=∵m＞2時，k＞0.
∴α=arctan,α∈（0，），
∵當m＜2時，k＜0
∴α＝π＋arctan，α∈(,π).
說明：利用斜率公式時，應注意斜率公式的應用範圍.
［例2］若三點a(－2，3），b（3，－2），c（，m）共線，求m的值.
選題意圖：考查利用斜率相等求點的座標的方法.
解：∵a、b、c三點共線，
∴ｋab＝ｋac，
解得m=.
說明：若三點共線，則任意兩點的斜率都相等，此題也可用距離公式來解.
［例3］已知兩點a(－1,－5),b(3,－2),直線l的傾斜角是直線ab傾斜角的一半，求直線l的斜率.
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