高中數學第八章-圓錐曲線方程
考試內容：
數學探索版權所有橢圓及其標準方程．橢圓的簡單幾何性質．橢圓的引數方程．
數學探索版權所有雙曲線及其標準方程．雙曲線的簡單幾何性質．
數學探索版權所有拋物線及其標準方程．拋物線的簡單幾何性質．
數學探索版權所有考試要求：
數學探索版權所有掌握橢圓的定義、標準方程和橢圓的簡單幾何性質，了解橢圓的引數方程．
數學探索版權所有掌握雙曲線的定義、標準方程和雙曲線的簡單幾何性質．
數學探索版權所有掌握拋物線的定義、標準方程和拋物線的簡單幾何性質．
數學探索版權所有了解圓錐曲線的初步應用．
08. 圓錐曲線方程知識要點
一、橢圓方程.
1. 橢圓方程的第一定義：
⑴①橢圓的標準方程：
i. 中心在原點，焦點在x軸上：. ii. 中心在原點，焦點在軸上
②一般方程：.③橢圓的標準引數方程：的引數方程為（一象限應是屬於）.
⑵①頂點：或.②軸：對稱軸：x軸，軸；長軸長，短軸長.③焦點：或.④焦距：.⑤準線：或.⑥離心率：.⑦焦點半徑：
i. 設為橢圓上的一點，為左、右焦點，則
由橢圓方程的第二定義可以推出.
ii.設為橢圓上的一點，為上、下焦點，則
由橢圓方程的第二定義可以推出.
由橢圓第二定義可知：歸結起來為「左加右減」.
注意：橢圓引數方程的推導：得方程的軌跡為橢圓.
⑧通徑：垂直於x軸且過焦點的弦叫做通經.座標：和
⑶共離心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是，方程是大於0的引數，的離心率也是我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.
⑸若p是橢圓：上的點.為焦點，若，則的面積為（用餘弦定理與可得）. 若是雙曲線，則面積為.
二、雙曲線方程.
1. 雙曲線的第一定義：
⑴①雙曲線標準方程：. 一般方程：.
⑵①i. 焦點在x軸上：
頂點： 焦點： 準線方程漸近線方程：或
ii. 焦點在軸上：頂點：. 焦點：. 準線方程：. 漸近線方程：或，引數方程：或 .
②軸為對稱軸，實軸長為2a, 虛軸長為2b，焦距2c. ③離心率. ④準線距（兩準線的距離）；通徑.
⑤引數關係. ⑥焦點半徑公式：對於雙曲線方程（分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點）
「長加短減」原則：
構成滿足 （與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號）
⑶等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.
⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.
⑸共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時，它的雙曲線方程可設為.
例如：若雙曲線一條漸近線為且過，求雙曲線的方程？
解：令雙曲線的方程為：，代入得.
⑹直線與雙曲線的位置關係：
區域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條；
區域②：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條；
區域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條；
區域④：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條；
區域⑤：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線.
小結：過定點作直線與雙曲線有且僅有乙個交點，可以作出的直線數目可能有0、2、3、4條.
（2）若直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時，求確定直線的斜率可用代入法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號.
⑺若p在雙曲線，則常用結論1：p到焦點的距離為m = n，則p到兩準線的距離比為m︰n.
簡證： = .
常用結論2：從雙曲線乙個焦點到另一條漸近線的距離等於b.
三、拋物線方程.
3. 設，拋物線的標準方程、型別及其幾何性質：
注：①頂點.
②則焦點半徑;則焦點半徑為.
③通徑為2p，這是過焦點的所有弦中最短的.
④（或）的引數方程為（或）（為引數）.
四、圓錐曲線的統一定義..
4. 圓錐曲線的統一定義：平面內到定點f和定直線的距離之比為常數的點的軌跡.
當時，軌跡為橢圓；
當時，軌跡為拋物線；
當時，軌跡為雙曲線；
當時，軌跡為圓（，當時）.
5. 圓錐曲線方程具有對稱性. 例如：橢圓的標準方程對原點的一條直線與雙曲線的交點是關於原點對稱的.
因為具有對稱性，所以欲證ab=cd, 即證ad與bc的中點重合即可.
注：橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程與幾何性質
1. 橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程的其他形式及相應性質.
2. 等軸雙曲線
3. 共軛雙曲線
5. 方程y2=ax與x2=ay的焦點座標及準線方程.
6.共漸近線的雙曲線系方程.
［例1］求經過兩點p1（2，1）和p2（m，2）（m∈r)的直線l的斜率，並且求出l的傾斜角α及其取值範圍.
選題意圖：考查傾斜角與斜率之間的關係及斜率公式.
解：(1)當m=2時，x1＝x2＝2，∴直線l垂直於x軸，因此直線的斜率不存在，傾斜角α=
(2)當m≠2時，直線l的斜率k=∵m＞2時，k＞0.
∴α=arctan,α∈（0，），
∵當m＜2時，k＜0
∴α＝π＋arctan，α∈(,π).
說明：利用斜率公式時，應注意斜率公式的應用範圍.
［例2］若三點a(－2，3），b（3，－2），c（，m）共線，求m的值.
選題意圖：考查利用斜率相等求點的座標的方法.
解：∵a、b、c三點共線，
∴ｋab＝ｋac，
解得m=.
說明：若三點共線，則任意兩點的斜率都相等，此題也可用距離公式來解.
［例3］已知兩點a(－1,－5),b(3,－2),直線l的傾斜角是直線ab傾斜角的一半，求直線l的斜率.
選題意圖：強化斜率公式.
解：設直線l的傾斜角α，則由題得直線ab的傾斜角為2α.
∵tan2α=ｋab=
即3tan2α+8tanα－3=0，
解得tanα＝或tanα＝－3.
∵tan2α＝＞0,∴0°＜2α＜90°,
0°＜α＜45°，
∴tanα＝.
因此，直線l的斜率是
說明：由2α的正切值確定α的範圍及由α的範圍求α的正切值是本例解法中易忽略的地方.
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