第二講圓柱與圓錐
動態幾何，最原始的是「點」，「點」存在但沒有大小。
一維：線
「線」求周長，長方形周長為：，圓周長為：。
另，正方體周長為：4a，扇形周長為：×+＝+。
二維：面
「面」求面積，長方形面積為：，圓面積為：。
另，正方體面積為：，平行四邊形面積為：；
由平行四邊形畫一條對角線可以得到：三角形面積為；
由平行四邊形畫一條直線等分成2個梯形，得到梯形面積為；
等腰直角三角形面積為：s＝＝（為直角邊，c為斜邊）。
三維：體
「體」求體積，
1 柱體體積為：底面積×高，長方體體積為：a×b×h，圓柱體體積為：；
另，柱體的表面積：長方體的表面積為，圓柱體的表面積為： +。
圓柱體是長方形旋轉形成的，圓柱體的截面是長方形、圓形。
2 錐體體積，圓錐體積為：；
另，圓錐的表面積＝(r為底面圓的半徑，r為側面展開形成的扇形的半徑)。
圓錐是直角三角形旋轉形成的，圓錐的截面是三角形、圓形。
3 球體體積為：
201、【補充1】如圖，ab＝4，cd＝9，求四邊形abcd的面積。
【難度級別】★☆☆☆☆
【解題思路】∠d＝360°－90°-90°-135°＝45°，∠e＝45°，
△eab和△ecd均為等腰直角三角形。
s＝－＝－＝32.5。
【答案】32.5。
202、【補充2】用「極限分割」思想（割圓術），證明圓的面積為。
【難度級別】★★★★☆
【解題思路】在圓周上取n個點，依次連線這n個點，形成n條線段，設這n條線段的長依次為、、…、，則每條線段與兩端的半徑形成乙個小三角形，當n最夠大時，小三角形上的高就是r，小三角形的面積為，所以，圓的面積為：
c（當n最夠大時， +…+＝c）
＝×＝【答案】見上。
203、【補充3】用「極限分割」思想，證明圓錐的體積為。
【難度級別】★★★★★
【解題思路】將高h進行n等分，當n足夠大時，每份近似於乙個圓柱，共形成n個圓柱，每個圓柱的高為，圓柱的半徑依次為：、、、…、。
每個圓柱的體積為：＝；
圓錐的體積為
（當n足夠大時，n+1＝n，2n+1＝2n，＝＝）
【答案】見上。
204、【補充4】求圓錐的表面積公式。
【難度級別】★★★☆☆
【解題思路】將圓錐側面展開，形成r為半徑的扇形。
＝+＝+＝+＝+。
扇形的弧長＝小圓的周長，＝，＝。
其中，r與r、h的關係：＝+。
【答案】圓錐表面積是+。
205、【第一單元3(4)】乙個圓柱的高如果減少2厘公尺，它的側面積就減少50.24厘公尺，則此時它的體積會減少多少？(取3.14)
【難度級別】★☆☆☆☆
【解題思路】×2＝50.24，r＝，
減少的體積：×2＝×2＝100.48()。
【答案】100.48。
206【第一單元4】乙個正方體稜長是20厘公尺，把它削成乙個最大的圓柱，這個圓柱的表面積是多少立方厘公尺？(取3.14)
【難度級別】★☆☆☆☆
【解題思路】圓柱的底面半徑為10，圓柱的高為20。
+＝+×10×20＝600＝1884()。
【答案】1884。
207、【第一單元5】如圖，有一捲緊緊纏繞在一起的塑料薄膜，薄膜的直徑為20厘公尺，中間有一直徑為8厘公尺的卷軸，已知薄膜的厚度為0.04厘公尺，則薄膜展開後的面積是_____平方公尺。(取3.
14)【難度級別】★★☆☆☆
【解題思路】展開後，薄膜的體積不變。
展開的面積＝體積÷厚度＝
＝()＝()＝65.94()
方法二：
底面積＝＝
展開後，薄膜長度：
÷0.04＝(cm)＝(m)
展開面積：×1＝＝65.94()
【答案】65.94。
208、【第二單元4】甲、乙兩個相同形狀的圓錐形容器，甲容器正放（尖向上），水的高度是錐高的，乙容器倒置（尖向下），水的高度是錐高的，那麼現在哪乙個容器盛的水多？多的是少的幾倍？
【難度級別】★★☆☆☆
【解題思路】v＝，＝＝＝，
＝，甲多。÷＝÷＝。
【答案】。
209、【第三單元5】在乙個正方體的兩對側面的中心各打通乙個長方體的洞，在上下底面的中心打通乙個圓柱形的洞。已知正方體邊長為10厘公尺，側面上的洞口是邊長為4厘公尺的正方形，上下底面的洞口是直徑為4厘公尺的圓，求此立體圖形的表面積和體積。(取3.
14)【難度級別】★★★☆☆
【解題思路】考察空間想象能力。
表面積：外側表面積：(10×10)×6－(4×4)×4－＝536－；
內側長方體洞，4×3有16個，小正方形－方中圓4×4－有2個，(4×3)×16+(4×4－)×2＝224－；
內側圓柱洞：＝
打洞後的立方體表面積：(536－)+(224－)+＝760+＝785.12()。
體積：大正方體體積：10×10×10＝1000，乙個長方體洞的體積：4×4×10＝160，
上下兩截圓柱體體積：＝。
打洞後的立方體體積：1000－(160×2－4×4×4)－＝744－＝668.64()。
【答案】785.12，668.64。
【小知識】幾何畫板中，畫橢圓的辦法：
1畫一圓o
2畫圓內一點a
3選中圓，「構造」/「圓上的點」/b
4選中圓心和點b，「構造」/「直線」
5選中點b點a，「構造」/「線段」
6選中線段ba，「構造」/「中點」/m
7選中線段ba和點m，「構造」/「垂線」
8選中垂線和直線ob，「構造」/「交點」/c
9依次選中點bc，「構造」/「軌跡」
移動點b和點a可以變換橢圓的形狀和大小。
210、【學案3】乙個正方形的長和寬分別是12厘公尺和16厘公尺，以一條對角線為軸旋轉一周，求形成的立體圖形的體積。（結果用表示）
【難度級別】★★★☆☆
【解題思路】立體圖形為：兩頭是圓錐，中間是2個圓台。
對角線＝20厘公尺，圓錐的半徑為：12×16÷20＝9.6，
圓台中間位置的半徑為：12×10÷16＝7.5。
×2＝853.8。
【答案】853.8。
212、【學案答案】1、 162、 16203、 853.8
213、【作業答案】1、 25.122、 9388.6， 3、 9.6，
45、 1576、314
liqingzhou
2013.9.17
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