一、基礎知識
1.圓的方程
圓的標準方程為圓心半徑________.
圓的一般方程為圓心半徑
二元二次方程表示圓的條件為:
(122.直線和圓的位置關係:
直線,圓,圓心到直線的距離為d.
則:(1)d
(2)當時,直線與圓相離;
當時,直線與圓相切;
當時,直線與圓相交;
(3)弦長公式
3. 兩圓的位置關係
圓:; 圓:
則有:兩圓相離
兩圓外切
兩圓相交
兩圓內切
兩圓內含
二、題型總結:
(一)圓的方程
1. ★的圓心座標半徑
2.★★點()在圓x+y-2y-4=0的內部,則的取值範圍是( )
a.-1<<1 b. 0<<1 c.–1<< d.- <<1
3.★★若方程所表示的曲線關於直線對稱,必有( )
a. b. c. d.兩兩不相等
4.★★★圓的圓心在( )
a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限
5. ★若直線與兩座標軸交點為a,b,則以線段為直徑的圓的方程是
ab.c. d.
6. ★★過圓外一點作圓的兩條切線,切點為,則的外接圓方程是( )
ab.cd.
7. ★過點,且圓心在直線上的圓的方程( )
ab.cd.
8.★★圓關於直線對稱的圓的方程是
a. b.
c. d.
9.★已知△abc的三個項點座標分別是a(4,1),b(6,-3),c(-3,0),求△abc外接圓的方程.
10.★求經過點a(2,-1),和直線相切,且圓心在直線上的圓的方程.
2.求軌跡方程
11. ★圓上的動點,定點,線段的中點軌跡方程
12.★★★方程所表示的圖形是( )
a.一條直線及乙個圓b.兩個點
c.一條射線及乙個圓d.兩條射線及乙個圓
13.★★已知動點m到點a(2,0)的距離是它到點b(8,0)的距離的一半,
求:(1)動點m的軌跡方程;(2)若n為線段am的中點,試求點n的軌跡.
3.直線與圓的位置關係
14. ★圓的圓心到直線的距離是( )
a. b. c. 1 d.
15. ★★過點的直線中,被截得弦長最長的直線方程為
a. b. c. d.
16. ★★已知直線過點,當直線與圓有兩個交點時,其斜率的取值範圍是( )
a. b. c. d.
17. ★圓在點處的切線方程為( )
a. b. c. d.
18.★★過點p(2,1)作圓c:x2+y2-ax+2ay+2a+1=0的切線有兩條,則a取值範圍是( )
a.a>-3 b.a<-3 c.-3<a<- d.-3<a<-或a>2
19.★★直線與圓交於e、f兩點,則(o為原點)的面積為( )
abc. d.
20.★★過點m(0,4),被圓截得弦長為的直線方程為
21.★★★已知圓c:及直線
(1)證明:不論取什麼實數,直線與圓c恆相交;
(2)求直線與圓c所截得的弦長的最短長度及此時直線的方程.
22.★★★已知圓x2+y2+x-6y+m=0和直線x+2y-3=0交於p、q兩點,且以pq為直徑的圓恰過座標原點,求實數m的值.
4.圓與圓的位置關係
23. ★圓與圓的位置關係為
24.★已知兩圓.求經過兩圓交點的公共弦所在的直線方程
25.★兩圓x2+y2-4x+6y=0和x2+y2-6x=0的連心線方程為( )
a.x+y+3=0 b.2x-y-5=0 c.3x-y-9=0 d.4x-3y+7=0
26.★兩圓,的公切線有且僅有( )
a.1條 b.2條 c.3條 d.4條
27.★★★已知圓的方程為,且在圓外,圓的方程為 =,則與圓一定( )
a.相離 b.相切 c.同心圓 d.相交
28.★★求圓心在直線上,且過兩圓,
交點的圓的方程.
5.綜合問題
29. ★★點在圓上,點在直線上,則的最小 ( )
a b c d
30. ★★若點在直線上,直線分別切圓於兩點,則四邊形面積的最小值為( )
a 24 b 16 c 8 d 4
31. ★★直線與曲線有且只有乙個交點,則的取值範圍是( )
ab.且
cd.以上答案都不對
32. ★★如果實數滿足求:
(1)的最大值;(2)的最小值;(3)的最值.
33.★★一艘輪船在沿直線返回港口的途中,接到氣象台的颱風預報:颱風中心位於輪船正西70 km處,受影響的範圍是半徑長30 km的圓形區域.已知港口位於颱風正北40 km處,如果這艘輪船不改變航線,那麼它是否會受到颱風的影響?
圓的方程題型總結
參***
1.;;2.d;3.c;4.d;5.a;6.d;7.c;8.a;
9.解:解法一:設所求圓的方程是. ①
因為a(4,1),b(6,-3),c(-3,0)都在圓上,
所以它們的座標都滿足方程①,於是
可解得所以△abc的外接圓的方程是.
解法二:因為△abc外接圓的圓心既在ab的垂直平分線上,也在bc的垂直平分線上,所以先求ab、
bc 的垂直平分線方程,求得的交點座標就是圓心座標.
∵,,線段ab的中點為(5,-1),線段bc的中點為,
∴ab的垂直平分線方程為, ①
bc的垂直平分線方程. ②
解由①②聯立的方程組可得∴△abc外接圓的圓心為e(1,-3),
半徑.故△abc外接圓的方程是.
10.解:因為圓心在直線上,所以可設圓心座標為(a,-2a),據題意得:
∴ a =1, ∴ 圓心為(1,-2),半徑為, ∴所求的圓的方程為.
11.;12.d;
13.解:(1)設動點m(x,y)為軌跡上任意一點,則點m的軌跡就是集合
p.由兩點距離公式,點m適合的條件可表示為,
平方後再整理,得. 可以驗證,這就是動點m的軌跡方程.
(2)設動點n的座標為(x,y),m的座標是(x1,y1).
由於a(2,0),且n為線段am的中點,所以
,.所以有, ①
由(1)題知,m是圓上的點,
所以m座標(x1,y1)滿足:②
將①代入②整理,得.
所以n的軌跡是以(1,0)為圓心,以2為半徑的圓(如圖中的虛圓為所求).
14.a;15.a; 16.b; 17.d; 18.d; 19.c; 20.x=0或15x+8y-32=0;
21.解:(1)直線方程,可以改寫為,所以直線必經過直線的交點.由方程組解得即兩直線的交點為a 又因為點與圓心的距離,所以該點在內,故不論取什麼實數,直線與圓c恆相交.
(2)連線,過作的垂線,此時的直線與圓相交於、.為直線被圓所截得的最短弦長.此時,.即最短弦長為.
又直線的斜率,所以直線的斜率為2.此時直線方程為:
22.解:由
又op⊥oq, ∴x1x2+y1y2=0,而x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2=
∴ 解得m=3.
23.相交; 24.; 25.c; 26.b; 27.c;
28.解法一:(利用圓心到兩交點的距離相等求圓心)
將兩圓的方程聯立得方程組
,解這個方程組求得兩圓的交點座標a(-4,0),b(0,2).
因所求圓心在直線上,故設所求圓心座標為,則它到上面的兩上交點
(-4,0)和(0,2)的距離相等,故有,
即,∴,,從而圓心座標是(-3,3).
又, 故所求圓的方程為.
解法二:(利用弦的垂直平分線過圓心求圓的方程)
同解法一求得兩交點座標a(-4,0),b(0,2),弦ab的中垂線為,
它與直線交點(-3,3)就是圓心,又半徑,
故所求圓的方程為.
解法三:(用待定係數法求圓的方程)
同解法一求得兩交點座標為a(-4,0),b(0,2).
設所求圓的方程為,因兩點在此圓上,且圓心在上,所以得方程組,解之得,
故所求圓的方程為.
解法四:(用「圓系」方法求圓的方程.過後想想為什麼?)
設所求圓的方程為
, 即 .
可知圓心座標為.
因圓心在直線上,所以,解得.
將代入所設方程並化簡,求圓的方程.
29.a; 30.c; 31.b;
32.(1);(2);(3);.
33.解:我們以颱風中心為原點o,東西方向為x軸,建立如圖所示的直角座標系.
這樣,受颱風影響的圓形區域所對應的圓的方程為
① 輪船航線所在直線l的方程為
,即②如果圓o與直線l有公共點,則輪船受影響,需要改變航向;如果
o與直線l無公共點,則輪船不受影響,無需改變航向.
由於圓心o(0,0)到直線l的距離
,所以直線l與圓o無公共點.這說明輪船將不受颱風影響,不用改變航向.
圓的方程題型總結按題型,含詳細答案
圓的方程題型總結 一 基礎知識 1 圓的方程 圓的標準方程為圓心半徑 圓的一般方程為圓心半徑 二元二次方程表示圓的條件為 122.直線和圓的位置關係 直線,圓,圓心到直線的距離為d.則 1 d 2 當時,直線與圓相離 當時,直線與圓相切 當時,直線與圓相交 3 弦長公式 3.兩圓的位置關係 圓 圓 ...
圓的方程題型總結
一 基礎知識 1 圓的方程 圓的標準方程為圓心半徑 圓的一般方程為圓心半徑 二元二次方程表示圓的條件為 122.直線和圓的位置關係 直線,圓,圓心到直線的距離為d.則 1 d2 當 時,直線與圓相離 當 時,直線與圓相切 當 時,直線與圓相交 3 弦長公式 3.兩圓的位置關係 圓 圓 則有 兩圓相離...
圓的方程題型總結
一 基礎知識 1 圓的方程 圓的標準方程為圓心半徑 圓的一般方程為圓心半徑 二元二次方程表示圓的條件為 122.直線和圓的位置關係 直線,圓,圓心到直線的距離為d.則 1 d 2 當時,直線與圓相離 當時,直線與圓相切 當時,直線與圓相交 3 弦長公式 3.兩圓的位置關係 圓 圓 則有 兩圓相離外切...