函式知識要點
知識回顧：
（一） 對映與函式
1. 對映與一一對映
2.函式
函式三要素是定義域，對應法則和值域，而定義域和對應法則是起決定作用的要素，因為這二者確定後，值域也就相應得到確定，因此只有定義域和對應法則二者完全相同的函式才是同一函式.
3.反函式
反函式的定義
設函式的值域是c，根據這個函式中x,y 的關係，用y把x表示出，得到x=(y). 若對於y在c中的任何乙個值，通過x=(y)，x在a中都有唯一的值和它對應，那麼，x=(y)就表示y是自變數，x是自變數y的函式，這樣的函式x=(y) (yc)叫做函式的反函式，記作,習慣上改寫成
（二）函式的性質
⒈函式的單調性
定義：對於函式f(x)的定義域i內某個區間上的任意兩個自變數的值x1,x2,
⑴若當x1⑵若當x1f(x2),則說f(x) 在這個區間上是減函式.
若函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式，則就說函式y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，這一區間叫做函式y=f(x)的單調區間.此時也說函式是這一區間上的單調函式.
2.函式的奇偶性
7. 奇函式，偶函式：
⑴偶函式：
設（）為偶函式上一點，則（）也是圖象上一點.
偶函式的判定：兩個條件同時滿足
①定義域一定要關於軸對稱，例如：在上不是偶函式.
②滿足，或，若時，.
⑵奇函式：
設（）為奇函式上一點，則（）也是圖象上一點.
奇函式的判定：兩個條件同時滿足
①定義域一定要關於原點對稱，例如：在上不是奇函式.
②滿足，或，若時，.
8. 對稱變換：①y = f（x）
②y =f（x）
③y =f（x）
9. 判斷函式單調性（定義）作差法：對帶根號的一定要分子有理化，例如：
在進行討論.
10. 外層函式的定義域是內層函式的值域.
例如：已知函式f（x）= 1+的定義域為a，函式f[f（x）]的定義域是b，則集合a與集合b之間的關係是
解：的值域是的定義域，的值域，故，而a，故.
11. 常用變換：
①.證：②證：
12. ⑴熟悉常用函式圖象：
例：→關於軸對稱
→關於軸對稱.
⑵熟悉分式圖象：
例：定義域，
值域→值域前的係數之比.
（三）指數函式與對數函式
指數函式的圖象和性質
對數函式y=logax的圖象和性質:
對數運算：
（以上）
注⑴：當時，.
⑵：當時，取「+」，當是偶數時且時，，而，故取「—」.
例如：中x＞0而中x∈r）.
⑵（）與互為反函式.
當時，的值越大，越靠近軸；當時，則相反.
（四）方法總結
⑴.相同函式的判定方法：定義域相同且對應法則相同.
⑴對數運算：
（以上）
注⑴：當時，.
⑵：當時，取「+」，當是偶數時且時，，而，故取「—」.
例如：中x＞0而中x∈r）.
⑵（）與互為反函式.
當時，的值越大，越靠近軸；當時，則相反.
⑵.函式表示式的求法：①定義法；②換元法；③待定係數法.
⑶.反函式的求法：先解x,互換x、y，註明反函式的定義域(即原函式的值域).
⑷.函式的定義域的求法：布列使函式有意義的自變數的不等關係式，求解即可求得函式的定義域.
常涉及到的依據為①分母不為0；②偶次根式中被開方數不小於0；③對數的真數大於0，底數大於零且不等於1；④零指數冪的底數不等於零；⑤實際問題要考慮實際意義等.
⑸.函式值域的求法：①配方法(二次或四次)；②「判別式法」；③反函式法；④換元法；⑤不等式法；⑥函式的單調性法.
⑹.單調性的判定法：①設x,x是所研究區間內任兩個自變數，且x＜x；②判定f(x)與f(x)的大小；③作差比較或作商比較.
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關於原點對稱，再計算f(-x)與f(x)之間的關係：
①f(-x)=f(x)為偶函式；f(-x)=-f(x)為奇函式；②f(-x)-f(x)=0為偶；f(x)+f(-x)=0為奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1為奇函式.
⑻.圖象的作法與平移：①據函式表示式，列表、描點、連光滑曲線；②利用熟知函式的圖象的平移、翻轉、伸縮變換；③利用反函式的圖象與對稱性描繪函式圖象.
導數1. 導數（導函式的簡稱）的定義：設是函式定義域的一點，如果自變數在處有增量，則函式值也引起相應的增量；比值稱為函式在點到之間的平均變化率；如果極限存在，則稱函式在點處可導，並把這個極限叫做在處的導數，記作或，即=.
注：①是增量，我們也稱為「改變量」，因為可正，可負，但不為零.
②以知函式定義域為，的定義域為，則與關係為.
2. 函式在點處連續與點處可導的關係：
⑴函式在點處連續是在點處可導的必要不充分條件.
可以證明，如果在點處可導，那麼點處連續.
事實上，令，則相當於.
於是⑵如果點處連續，那麼在點處可導，是不成立的.
例：在點處連續，但在點處不可導，因為，當＞0時，；當＜0時，，故不存在.
注：①可導的奇函式函式其導函式為偶函式.
②可導的偶函式函式其導函式為奇函式.
3. 導數的幾何意義：
函式在點處的導數的幾何意義就是曲線在點處的切線的斜率，也就是說，曲線在點p處的切線的斜率是，切線方程為
4. 求導數的四則運算法則：
（為常數）
注：①必須是可導函式.
②若兩個函式可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函式均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導.
例如：設，，則在處均不可導，但它們和
在處均可導.
5. 復合函式的求導法則：或
復合函式的求導法則可推廣到多個中間變數的情形.
6. 函式單調性：
⑴函式單調性的判定方法：設函式在某個區間內可導，如果＞0，則為增函式；如果＜0，則為減函式.
⑵常數的判定方法；
如果函式在區間內恒有=0，則為常數.
注：①是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如在上並不是都有，有乙個點例外即x=0時f（x） = 0，同樣是f（x）遞減的充分非必要條件.
②一般地，如果f（x）在某區間內有限個點處為零，在其餘各點均為正（或負），那麼f（x）在該區間上仍舊是單調增加（或單調減少）的.
7. 極值的判別方法：（極值是在附近所有的點，都有＜，則是函式的極大值，極小值同理）
當函式在點處連續時，
①如果在附近的左側＞0，右側＜0，那麼是極大值；
②如果在附近的左側＜0，右側＞0，那麼是極小值.
也就是說是極值點的充分條件是點兩側導數異號，而不是=0①. 此外，函式不可導的點也可能是函式的極值點②. 當然，極值是乙個區域性概念，極值點的大小關係是不確定的，即有可能極大值比極小值小（函式在某一點附近的點不同）.
注①： 若點是可導函式的極值點，則=0. 但反過來不一定成立. 對於可導函式，其一點是極值點的必要條件是若函式在該點可導，則導數值為零.
例如：函式，使=0，但不是極值點.
②例如：函式，在點處不可導，但點是函式的極小值點.
8. 極值與最值的區別：極值是在區域性對函式值進行比較，最值是在整體區間上對函式值進行比較.
注：函式的極值點一定有意義.
9. 幾種常見的函式導數：
i.（為常數
iiiii. 求導的常見方法：
①常用結論：.
②形如或兩邊同取自然對數，可轉化求代數和形式.
③無理函式或形如這類函式，如取自然對數之後可變形為，對兩邊求導可得.
三角函式知識要點
1. ①與（0°≤＜360°）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）：
②終邊在x軸上的角的集合：
③終邊在y軸上的角的集合：
④終邊在座標軸上的角的集合：
⑤終邊在y=x軸上的角的集合：
⑥終邊在軸上的角的集合：
⑦若角與角的終邊關於x軸對稱，則角與角的關係：
⑧若角與角的終邊關於y軸對稱，則角與角的關係：
⑨若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關係：
⑩角與角的終邊互相垂直，則角與角的關係：
2. 角度與弧度的互換關係：360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度數為正數，負角的弧度數為負數，零角的弧度數為零.
、弧度與角度互換公式： 1rad＝°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝≈0.01745（rad）
3、弧長公式：. 扇形面積公式：
4、三角函式：設是乙個任意角，在的終邊上任取（異於原點的）一點p（x,y）p與原點的距離為r，則
5、三角函式在各象限的符號：（一全二正弦，三切四余弦）
6、三角函式線
正弦線：mp; 余弦線：om; 正切線： at.
7. 三角函式的定義域：
8、同角三角函式的基本關係式：
9、誘導公式：
「奇變偶不變，符號看象限」
三角函式的公式：（一）基本關係
公式組二公式組三
公式組四公式組五公式組六
高考數學知識點之函式
考試內容 數學探索版權所有對映 函式 函式的單調性 奇偶性 數學探索版權所有反函式 互為反函式的函式影象間的關係 數學探索版權所有指數概念的擴充 有理指數冪的運算性質 指數函式 數學探索版權所有對數 對數的運算性質 對數函式 數學探索版權所有函式的應用 數學探索版權所有考試要求 數學探索版權所有了解...
2023年高考數學知識點之函式
1.函式的奇偶性 1 若f x 是偶函式，那麼f x f x 2 若f x 是奇函式，0在其定義域內，則 f 0 0 可用於求引數 3 判斷函式奇偶性可用定義的等價形式 f x f x 0或 f x 0 4 若所給函式的解析式較為複雜，應先化簡，再判斷其奇偶性 5 奇函式在對稱的單調區間內有相同的單...
2019高考數學知識點總結之函式公式
高中數學函式知識點總結 1 高中函式公式的變數 因變數，自變數。在用圖象表示變數之間的關係時，通常用水平方向的數軸上的點自變數，用豎直方向的數軸上的點表示因變數。2 一次函式 若兩個變數,間的關係式可以表示成 為常數，不等於0 的形式，則稱是的一次函式。當 0時，稱是的正比例函式。3 高中函式的一次...