2023年高考數學知識點之函式

1. 函式的奇偶性

(1)若f(x)是偶函式，那麼f(x)=f(-x) ;

(2)若f(x)是奇函式，0在其定義域內，則 f(0)=0(可用於求引數);

(3)判斷函式奇偶性可用定義的等價形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);

(4)若所給函式的解析式較為複雜，應先化簡，再判斷其奇偶性;

(5)奇函式在對稱的單調區間內有相同的單調性;偶函式在對稱的單調區間內有相反的單調性;

2. 復合函式的有關問題

(1)復合函式定義域求法：若已知的定義域為[a，b],其復合函式f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求 f(x)的定義域，相當於x∈[a,b]時，求g(x)的值域(即 f(x)的定義域);研究函式的問題一定要注意定義域優先的原則。

(2)復合函式的單調性由「同增異減」判定;

3．單調性和奇偶性

（1）奇函式在關於原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性完全相同．

偶函式在關於原點對稱的區間上若有單調性，則其單調性恰恰相反．

（2）若奇函式定義域中有0，則必有．即的定義域時，是為奇函式的必要非充分條件．

（3）確定函式的單調性或單調區間，在解答題中常用：定義法（取值、作差、鑑定）、導數法；在選擇、填空題中還有：數形結合法（影象法）、特殊值法等等．

（4）既奇又偶函式有無窮多個（定義域是關於原點對稱的任意乙個數集）．

（5）復合函式的單調性特點是：「同性得增，增必同性；異性得減，減必異性」．復合函式的奇偶性特點是：「內偶則偶，內奇同外」．復合函式要考慮定義域的變化。（即復合有意義）

4．對稱性與週期性（以下結論要消化吸收，不可強記）

（1）函式與函式的影象關於直線（軸）對稱．推廣一：如果函式對於一切，都有成立，那麼的影象關於直線（由「和的一半確定」）對稱．推廣二：函式，的影象關於直線（由確定）對稱．

（2）函式與函式的影象關於直線（軸）對稱．

（3）函式與函式的影象關於座標原點中心對稱．推廣：曲線關於直線的對稱曲線是；曲線關於直線的對稱曲線是．

（4）模擬「三角函式影象」得：若影象有兩條對稱軸，則必是週期函式，且一週期為．

5、高中函式的圖形的對稱

（1）軸對稱圖形：①如果乙個圖形沿一條直線摺疊後，直線兩旁的部分能夠互相重合，那麼這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。②軸對稱圖形上關於對稱軸對稱的兩點確定的線段被對稱軸垂直平分。

（2）中心對稱圖形：①在平面內，乙個圖形繞某個點旋轉180度，如果旋轉前後的圖形互相重合，那麼這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做他的對稱中心。②中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段都被對稱中心平分。

6. 判斷對應是否為對映時，抓住兩點

(1)a中元素必須都有象且唯一;

(2)b中元素不一定都有原象，並且a中不同元素在b中可以有相同的象;

7. 能熟練地用定義證明函式的單調性，求反函式，判斷函式的奇偶性。

8.對於反函式，應掌握以下一些結論：

(1)定義域上的單調函式必有反函式;

(2)奇函式的反函式也是奇函式;

(3)定義域為非單元素集的偶函式不存在反函式;

(4)週期函式不存在反函式;(5)互為反函式的兩個函式具有相同的單調性;

(5) y=f(x)與y=f-1(x)互為反函式，設f(x)的定義域為a，值域為b，則有f[f--1(x)]=x(x∈b),f--1[f(x)]=x(x∈a).

9.處理二次函式的問題勿忘數形結合

二次函式在閉區間上必有最值，求最值問題用「兩看法」：一看開口方向;二看對稱軸與所給區間的相對位置關係;

10. 依據單調性

利用一次函式在區間上的保號性可解決求一類引數的範圍問題

11. 恆成立問題的處理方法：

(1)分離引數法;

(2)轉化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解;