命題要點：(1)利用導數求函式的單調性(′11年6考，′10年5考)；(2)利用導數求函式的極值與最值(′11年8考，′10年4考)．
a級(時間：40分鐘滿分：60分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011·廣州模擬)函式f(x)＝ex＋e－x(e為自然對數的底數)在(0，＋∞)上
( )．
a．有極大值 b．有極小值
c．是增函式d．是減函式
解析依題意知，當x＞0時，f′(x)＝ex－e－x＞e0－e0＝0，因此f(x)在(0，＋∞)上是增函式．
答案 c
2．若函式f(x)＝ax3－x在區間(－∞，＋∞)內是減函式，則( )．
a．a≤0 b．a＜1 c．a＝2 d．a＝
解析 f′(x)＝3ax2－1，由f′(x)＝3ax2－1≤0，得a≤0.
答案 a
3．函式y＝x3－x2－x＋1在閉區間[－1,1]上的最大值是( )
． a.b.c．0 d．－
解析 f(x)＝3x2－2x－1，由f(x)＝0，得x＝1或x＝－，f(－1)＝0，f(1)＝0，f＝.
答案 a
4．(2011·皖南八校第二次聯考)已知函式f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則實數a的取值範圍是( )．
a．(－1,2) b．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
c．(－3,6) d．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因為函式有極大值和極小值，所以f′(x)＝0有兩個不相等的實數根，所以δ＝4a2－4×3(a＋6)＞0，解得a＜－3或a＞6.
答案 b
5．(2011·浙江)設函式f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈r)．若x＝－1為函式f(x)ex的乙個極值點，則下列圖象不可能為y＝f(x)的圖象是( )．
解析設h(x)＝f(x)ex，則h′(x)＝(2ax＋b)ex＋
(ax2＋bx＋c)ex＝(ax2＋2ax＋bx＋b＋c)ex.由x＝－1為函式f(x)ex的乙個極值點，得當x＝－1時，ax2＋2ax＋bx＋b＋c＝c－a＝0，∴c＝a.∴f(x)＝ax2＋bx＋a.
若方程ax2＋bx＋a＝0有兩根x1，x2，則x1x2＝＝1，d中圖象一定不滿足該條件．答案 d
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2011·廣東)函式f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________處取得極小值．
解析由題意知f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2，由f′(x)＞0，得x＜0或x＞2，由f′(x)＜0得0＜x＜2，∴f(x)在x＝2處取得極小值．
答案 2
7．函式f(x)＝xln x的單調遞增區間是________．
解析函式f(x)的定義域為(0，＋∞)，∵f′
(x)＝ln x＋1，由f′(x)＞0，得x＞，
∴f(x)的單調遞增區間為.
答案 8．(2011·遼寧)已知函式f(x)＝ex－2x＋a有零點，則a的取值範圍是________．
解析 f′(x)＝ex－2.
當x＜ln 2時，f′(x)＜0；
當x＞ln 2時，f′(x)＞0.
∴f(x)min＝f(ln 2)＝2－2ln 2＋a，
則函式有零點，即f(x)min≤0.
∴2－2ln 2＋a≤0，
∴a≤2ln 2－2.
答案 (－∞，2ln 2－2]
三、解答題(共23分)
9．(11分)已知函式f(x)＝4x3＋ax2＋bx＋5的圖象在x＝1處的切線方程為y＝－12x.
(1)求函式f(x)的解析式；
(2)求y＝f(x)的單調遞增區間．
解 (1)f′(x)＝12x2＋2ax＋b，
f′(1)＝12＋2a＋b＝－12，①
又x＝1，y＝－12在f(x)的圖象上，
∴4＋a＋b＋5＝－12，②由①②得a＝－3，b＝－18，
∴f(x)＝4x3－3x2－18x＋5.
(2)由f′(x)＝12x2－6x－18＝0，得x＝－1，.
當x變化時，f(x)與f′(x)的變化如下表：
∴f(x)的單調遞增區間為(－∞，－1)，.
10．(12分)(2011·安徽)設f(x)＝，其中a為正實數．
(1)當a＝時，求f(x)的極值點；
(2)若f
(x)為r上的單調函式，求a的取值範圍．解對f(x)求導得
f′(x)＝ex. ①
(1)當a＝時，令f′(x)＝0，則4x2－8x＋3＝0，解得x1＝，x2＝.
結合①，可知
所以，x1＝是極小值點，x2＝是極大值點．
(2)若f(x)為r上的單調函式，則f′(x)在r上不變號，
結合①與條件a＞0，知ax2－2ax＋1≥0在r上恆成立，
因此δ＝4a2－4
a＝4a(a－1)≤0，由此並結合a＞0，知0＜a≤1.所以a的取值範圍為(0,1]．b級
(時間：30分鐘滿分：40分)
一、選擇題(每小題5分，共10分)
1．(2011·福建)若a＞0，b＞0，且函式f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1處有極值，則ab的最大值等於( )．
a．2 b．3 c．6 d．9
解析 ∵f′(x)＝12x2－2ax－2b，
δ＝4a2＋96b＞0，又x＝1是極值點，
∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，
∴ab≤＝9，當且僅當a＝b時「＝」成立，所以ab的最大值為9.
答案 d
2．(2011·金華十校模擬)已知函式f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2處取得極值，若m，n∈[－1,1]，則f(m)＋f′(n)的最小值是( )．
a．－13 b．－15 c．10 d．15
解析求導得f′(
x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2處取得極值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x.由此可得f(x)在(－1,0)上單調遞減，在(0,1)上單調遞增，∴對m∈[－1,1]時，f(m)min＝f(0)＝－4.
又f′(x)＝－3x2＋6x的圖象開口向下，且對稱軸為x＝1，∴對n∈[－1,1]時，f′(n)min＝f′(－1)＝－9.於是，f(m)＋f′(n)的最小值為－13.
答案 a
二、填空題(每小題4分，共8分)
3．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m為常數)在[－2,2]上有最大值3，那麼此函式在[－2,2]上的最小值為________．
解析 ∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
∴f(x)在(－2,0)上為增函式，在(0,2)上為減函式，
∴當x＝0時，f(x)＝m最大．∴m＝3，從而f(－2)＝－37，
f(2)＝－5，∴最小值為－37.
答案 －37
4．(2011·蘇北四市二調)已知函式f(x)＝mx3＋nx2在點(－1,2)處的切線恰好與直線3x＋y＝0平行，若f(x)在區間[t，t＋1]上單調遞減，則實數t的取值範圍是________．
解析由題意可知，所以f(x)＝x3＋3x2.由f′(x)＝3x2＋6x≤0，解得－2≤x≤0，故f(x)在[－2,0]上單調遞減，故有[t，t＋1][－2,0]，即－2≤t＜t＋1≤0，解得t∈[－2，－1]．
答案 [－2，－1]
三、解答題(共22分)
5．(10分)(2011·浙江五校聯考)已知函式f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(x∈[－1,2])，且函式f(x)在x＝1和x＝－處都取得極值．
(1)求a，b的值；
(2)求函式f(x)的單調遞增區間．
解 (1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由題易知，解得
(2)由(1)知，f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(
x－1)，∵當x∈時，f′(x)＞0；
當x∈時，f′(x)＜0；
當x∈(1,2]時，f′(x)＞0.
∴f(x)的單調遞增區間為和(1,2]．
6．(★)(12分)(2011·湖南)設函式f(x)＝x－－aln x(a∈r)．
(1)討論f(x)的單調性；
(2)若f(x)有兩個極值點x1和x2，記過點a(x1，f(x1))，b(x2，f(x2))的直線的斜率為k.問：是否存在a，使得k＝2－a？
若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．
思路分析先求導，通分後發現f′(x)的符號與a有關，應對a進行分類，依據方程的判別式來分類．
解 (1)f(x)的定義域為(0，＋∞)．
f′(x)＝1＋－＝.
令g(x)＝x2－ax＋1，其判別式δ＝a2－4.
①當|a|≤2時，δ≤0，f′(x)≥0.故f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．
②當a＜－2時，δ＞0，g(x)＝0的兩根都小於0.在(0，＋∞)上，f′(x)＞0.故f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．
③當a＞2時，δ＞0，g(x)＝0的兩根為x1＝，x2＝.
當0＜x＜x1時，f′(x)＞0，當x1＜x＜x2時，f′(x)＜0；
當x＞x2時，f′(x)＞0.故f(x)分別在(0，x1)，(x2，＋∞)上單調遞增，在(x1，x2)上單調遞減．
(2)由(1)知，a＞2.
因為f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋－a(ln x1－ln x2)，所以，k＝＝1＋－a·.
又由(1)知，x1x2＝1，於是k＝2－a·.
若存在a，使得k＝2－a，則＝1.
即ln x1－ln x2＝x1－x2.
由x1x2＝1得x2－－2ln x2＝0(x2＞1)．(*)
再由(1)知，函式h(t)＝t－－2ln t在(0，＋∞)上單調遞增，而x2＞1，所以x2－－2ln x2＞1－－2 ln 1＝0.這與(*)式矛盾．
故不存在a，使得k＝2
－a.【點評】 本題充分體現了分類討論思想.近幾年新課標高考常考查含引數的導數問題，難度中等偏上，考生最容易失分的就是對引數的分類標準把握不准，導致分類不全等.
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