命題要點：圓的方程(′11年8考，′10年6考).
a級(時間：40分鐘滿分：60分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．已知點a(1，－1)，b(－1,1)，則以線段ab為直徑的圓的方程是( )．
a．x2＋y2＝2 b．x2＋y2＝
c．x2＋y2＝1 d．x2＋y2＝4
解析 ab的中點座標為：(0,0)，
|ab|＝＝2，
∴圓的方程為：x2＋y2＝2.
答案 a
2．(2011·廣州檢測(二))圓心在y軸上，半徑為1，且過點(1,2)的圓的方程為
( )．
a．x2＋(y－2)2＝1 b．x2＋(y＋2)2＝1
c．(x－1)2＋(y－3)2＝1 d．x2＋(y－3)2＝1
解析設圓心座標為(0，b)，則由題意知＝1，解得b＝2，故圓的方程為x2＋(y－2)2＝1.
答案 a
3．圓(x＋2)2＋y2＝5關於直線y＝x對稱的圓的方程為( )．
a．(x－2)2＋y2＝5 b．x2＋(y－2)2＝5
c．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 d．x2＋(y＋2)2＝5
解析由題意知所求圓的圓心座標為(0，－2)，所以所求圓的方程為x2＋(y＋2)2＝5.
答案 d
4．(2011·北京海淀檢測)點p(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點的軌跡方程是( )．
a．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 b．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
c．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 d．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析設圓上任一點為q(x0，y0)，pq的中點為m(x，y)，則解得因為點q在圓x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案 a
5．(2011·合肥模擬)已知點m是直線3x＋4y－2＝0上的動點，點n為圓(x＋1)2＋(y＋1)2＝1上的動點，則|mn|的最小值是( )．
a. b．1 c. d.
解析圓心(－1，－1)到點m的距離的最小值為點(－1，－1)到直線的距離d＝＝，故點n到點m的距離的最小值為d－1＝.
答案 c
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2011·遼寧)已知圓c經過a(5,1)，b(1,3)兩點，圓心在x軸上，則c的方程為________．
解析線段ab的中垂線方程為2x－y－4＝0，與x軸的交點(2,0)即為圓心c的座標，所以半徑為|cb|＝，所以圓c的方程為(x－2)2＋y2＝10.
答案 (x－2)2＋y2＝10
7．經過圓x2＋2x＋y2＝0的圓心c，且與直線x＋y＝0垂直的直線的方程是________．
解析易知點c的座標為(－1,0)，而所求直線與x＋y＝0垂直，所以所求直線的斜率為1，故所求直線的方程為y＝x＋1，即x－y＋1＝0.
答案 x－y＋1＝0
8．(2012·成都檢測)已知直線l：x－y＋4＝0與圓c：(x－1)2＋(y－1)2＝2，則圓c上各點到l的距離的最小值為________．
解析由題意得c上各點到直線l的距離的最小值等於圓心(1,1)到直線l的距離減去半徑，即－＝.
答案 三、解答題(共23分)
9．(11分)經過三點a(1,12)，b(7,10)，c(－9,2)的圓的標準方程．
解法一設圓的一般方程為：x2＋y2＋dx＋ey＋f＝0，
則解得d＝－2，e＝－4，f＝－95，
∴所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－95＝0，
即圓的標準方程為：(x－1)2＋(y－2)2＝100.
法二由a(1,12)，b(7,10)，得a、b的中點座標為(4,11)，
kab＝－，則ab的中垂線方程為：3x－y－1＝0.
同理得ac的中垂線方程為x＋y－3＝0，
聯立得即圓心座標為(1,2)，半徑r＝＝10.
∴所求圓的標準方程為：(x－1)2＋(y－2)2＝100.
10．(12分)已知一等腰三角形的頂點a(3,20)，一底角頂點b(3,5)，求另一底角頂點c(x，y)的軌跡．
解由|ab|＝|ac|，得
＝，整理得：(x－3)2＋(y－20)2＝
225(x≠3)，故底角頂點c的軌跡是以點(3,20)為圓心，半徑為15的圓，除去點(3,35)和(3,5)．
b級(時間：30分鐘滿分：40分)
一、選擇題(每小題5分，共10分)
1．若圓心在x軸上、半徑為的圓c位於y軸左側，且與直線x＋2y＝0相切，則圓c的方程是( )．
a．(x－)2＋y2＝5 b．(x＋)2＋y2＝5
c．(x－5)2＋y2＝5 d．(x＋5)2＋y2＝5
解析設圓心為(a,0)(a＜0)．因為直線x＋2y＝0與圓相切，所以＝，即＝，解得a＝－5.
所以圓c的方程為(x＋5)2＋y2＝5.
答案 d
2．(2011·杭州調研)若圓(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有兩個點到直線4x－3y－2＝0的距離等於1，則半徑r的取值範圍是( )．
a．(4,6) b．[4,6) c．(4,6] d．[4,6]
解析因為圓心(3，－5)到直線4x－3y－2＝0的距離為5，所以當半徑r＝4時，圓上有1個點到直線4x－3y－2＝0的距離等於1，當半徑r＝6時，圓上有3個點到直線4x－3y－2＝0的距離等於1，所以圓上有且只有兩個點到直線4x－3y－2＝0的距離等於1時，4＜r＜6.
答案 a
二、填空題(每小題4分，共8分)
3．已知兩點a(－2,0)，b(0,2)，點c是圓x2＋y2－2x＝0上任意一點，則△abc面積的最小值為________．
解析 lab：x－y＋2＝0，圓心(1,0)到lab的距離d＝＝，∴ab邊上的高的最小值為－1.
∴smin＝×(2)×＝3－.
答案 3－
4．(2012·重慶三校聯考)已知a，b是圓o：x2＋y2＝16上的兩點，且|ab|＝6，若以ab的長為直徑的圓m恰好經過點c(1，－1)，則圓心m的軌跡方程是________．
解析設圓心座標為m(x，y)，則(x－1)2＋(y＋1)2＝2，即為(x－1)2＋(y＋1)2＝9.
答案 (x－1)2＋(y＋1)2＝9
三、解答題(共22分)
5．(10分)求與x軸相切，圓心在直線3x－y＝0上，且被直線x－y＝0截得的弦長為2的圓的方程．
解法一設所求的圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
則圓心(a，b)到直線x－y＝0的距離為，
∴r2＝2＋()2，
即2r2＝(a－b)2＋14，①
由於所求的圓與x軸相切，∴r2＝b2.②
又因為所求圓心在直線3x－y＝0上，
∴3a－b＝0.③
聯立①②③，解得
a＝1，b＝3，r2＝9或a＝－1，b＝－3，r2＝9.
故所求的圓的方程是
(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.
法二設所求的圓的方程是x2＋y2＋dx＋ey＋f＝0，
圓心為，半徑為.
令y＝0，得x2＋dx＋f＝0，
由圓與x軸相切，得δ＝0，即d2＝4f.
又圓心到直線x－y＝0的距離為.
由已知，得2＋()2＝r2，
即(d－e)2＋56＝2(d2＋e2－4f)⑤
又圓心在直線3x－y＝0上，
∴3d－e＝0.⑥
聯立④⑤⑥，解得
d＝－2，e＝－6，f＝1或d＝2，e＝6，f＝1.
故所求圓的方程是x2＋y2－2x－6y＋1＝0，或x2＋y2＋2x＋6y＋1＝0.
6．(★)(12分)(2011·北京西城模擬)已知點a(－3,0)，b(3,0)，動點p滿足|pa|＝2|pb|.
(1)若點p的軌跡為曲線c，求此曲線的方程；
(2)若點q在直線l1：x＋y＋3＝0上，直線l2經過點q且與曲線c只有乙個公共點m，求|qm|的最小值．
思路分析第(2)問畫出曲線c及l1的圖象，結合條件斷定|qm|取最小值的情況．
解 (1)設點p的座標為(x，y)，
則＝2.
化簡可得(x－5)2＋y2＝16，此即為所求．
(2)曲線c是以點(5,0)為圓心，4為半徑的圓，如圖，
由直線l2是此圓的切線，連線cq，
則|qm|＝＝，
當cq⊥l1時，|cq|取最小值，
|cq|＝＝4，
此時|qm|的最小值為＝
4.【點評】 解決有關圓的最值問題一般要「數」與「形」結合，根據圓的知識探求最值時的位置關係．解析幾何中數形結合思想主要表現在以下兩方面：
(1)構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；
(2)研究圖形的形狀、位置關係、性質等．
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