命題要點：(1)導數的運算(′11年6考，10′年4考)；(2)導數的幾何意義(′11年5考，′10年4考).
a級(時間：40分鐘滿分：60分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011·山東)曲線y＝x3＋11在點p(1,12)處的切線與y軸交點的縱座標是
( )．
a．－9 b．－3 c．9 d．15
解析 y′＝3x2，故曲線在點(1,12)處的切線斜率是3.
故切線方程為：y－12＝3(x－1)，即y＝3x＋9，令x＝0，y＝9.
答案 c
2．(2011·東北三校二模)已知函式f(x)＝ax2＋3x－2在點(2，f(2))處的切線斜率為7，則實數a的值為( )．
a．－1 b．1 c．±1 d．－2
解析 f′(x)＝2ax＋3，∴2a×2＋3＝7，解得：a＝1.
答案 b
3．已知函式f(x)＝x3＋ax與g(x)＝2x2＋b
的圖象在x＝1處有相同的切線，則a＋b＝( )．
a．－1 b．0 c．1 d．2
解析 f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝4x，
∴f′(1)＝3×12＋a＝g′(1)＝4×1，∴a＝1，又f(1)＝13＋a×1＝g(1)＝2×12＋b，∴b＝a－1＝0，即a＋b＝1.
答案 c
4．過點(0,1)且與曲線y＝在點(3,2)處的切線垂直的直線的方程為( )．
a．2x－y＋1＝0 b．2x＋y－1＝0
c．x＋2y－2＝0 d．x－2y＋2＝0
解析 ∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－，故所求直線方程為：y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.
答案 a
5．(2011·湖南)曲線y＝－在點m處的切線的斜率為( )．
a．－解析 y′＝＝，∴y
′|x＝＝.答案 b
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2.若f′(－1)＝4，則a的值為________．
解析 ∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，
∴a＝.
答案 7．(2011·南昌一模)曲線y＝cos x在x＝處的切線的傾斜角是________．
解析 y′＝－sin x，y′|x＝＝－1.
即曲線y＝cos x在x＝處的切線的斜率為－1，因此相應切線的傾斜角為135°.
答案 135°
8．已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln ax相切，則a的值為______．
解析設切點座標為(x0，y0)，則有
解得x0＝1，a＝e2.
答案 e2
三、解答題(共23分)
9．(11分)求曲線f(x)＝x3－3x2＋2x過原點的切線方程．
解 f′(x)＝3x2－6x＋2，設切線的斜率為k.
(1)當切點是原點時k＝f′(0)＝2，f(0)＝0，
所以所求曲線的切線方程為y＝2x.(2)當切點不是原點時，設切點是(x0，y0)，
則有y0＝x－3x＋2x0，k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2，①
又k＝＝x－3x0＋2，②
由①②得x0＝，k＝＝－.
∴所求曲線的切線方程為y＝－x.
10．(12分)(2011·廣州模擬)若存在過點(1,0)的直線與曲線y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，求a的值．
解設過(1,0)的直線與y＝x3相切於點(x0，x)，
所以切線方程為y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x，
又(1,0)在切線上，則x0＝0或x0＝.
當x0＝0時，由y＝0與y＝ax2＋x－9相切可得a＝－；當x0＝時，由y＝x－與y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1.
所以a＝－1或－.
b級(時間：30分鐘滿分：40分)
一、選擇題(每小題5分，共10分)
1．點p是曲線y
＝x2－ln x上任意一點，則點p到直線y＝x＋2的最小距離為( )．
解析當點p為直線y＝x＋2平移到與曲線y＝x2－ln x相切的切點時，點p到直線y＝x＋2的距離最小．
設點p(x0，y0)，則y′|x＝x0＝2x0－＝1，又x0＞0，∴x0＝1.∴點p的座標為(1,1)，此時點p到直線y＝x＋2的距離為＝.
答案 b
2．已知直線y＝kx與曲線y＝ln x有公共點，則k的最大值為( )．
a．1解析從函式圖象知在直線y＝kx與曲線y＝ln x相切時，k取最大值．
y′＝(ln x)′＝＝k，x＝(k≠0)，
切線方程為y－ln＝k，又切線過原點(0,0)，代入方程解得ln k＝－1，k＝.
答案 b
二、填空題(每小題4分，共8分)
3．如圖所示，函式y＝f(x)的圖象在點p處的切線方程是y＝－x＋8，則f(5
f′(5
解析：∵切線方程與y＝f(x)交於點p(5，y0)，
∴y0＝－5＋8＝3.
由切線的意義知f′(5)＝－1.
答案：3 －1
4．(2011·武漢調研)若對任意m∈r，直線x＋y＋m＝0都不是曲線f(x)＝x3－ax的切線，則實數a的取值範圍是________．
解析依題意得關於x的方程f′(x)＝x2－a＝－1沒有實數解，因此，a－1＜0，即a＜1.
答案 (－∞，1)
三、解答題(共22分)
5．(10分)已知函式f(x)＝的圖象在點(－1，f(－1))處的切線方程為x＋2y＋5＝0，求y＝f(x)的解析式．
解由已知：－1＋2f(－1)＋5＝0，∴f(－1)＝－2，即切點為(－1，－2)．
又f′(x)＝
＝，∴解得：∴f(x)＝.
6．(12分)設函式f(x)＝ax－，曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為7x－
4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；
(2)證明：曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，並求此定值．
(1)解方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3，
當x＝2時，y＝.又f′(x)＝a＋，於是
解得故f(x)＝x－.
(2)證明設p(x0，y0)為曲線上任一點，
由f′(x)＝1＋知曲線在點p(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(x－x0)，即y－(x0－)＝(x－x0)．
令x＝0得，y＝－，從而得切線與直線x＝0交點座標為.
令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點座標為(2x0,2x0)．
所以點p(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為|2x0|＝6.
故曲線y＝f(x)上任一點處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6.
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