命題要點：(1)函式的奇偶性(′11年4考，′10年2考)；(2)函式性質的綜合應用(′11年2考，′10年2考).
a級(時間：40分鐘滿分：60分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011·廣東六校聯考)下列函式中，既是偶函式又在(0，＋∞)上單調遞增的是
( )．
a．y＝x3b．y＝ln |x|
c．yd．y＝cos x
解析 y＝x3不是偶函式；y＝在(0，＋∞)上單調遞減；y＝cos x在(0，＋∞)上有增有減；只有y＝ln |x|同時滿足條件．
答案 b
2．對於定義域為r的奇函式f(x)，下列各式中成立的是( )．
a．f(x)－f(－x)≥0 (x∈r)
b．f(x)－f(－x)≤0 (x∈r)
c．f(x)f(－x)≥0 (x∈r)
d．f(x)f(－x)≤0 (x∈r)
解析依題意，知f(－x)＝－f(x)，∴f(x)f(－x)＝－[f(x)]2≤0.
答案 d
3．(★)(2011·湖北)若定義在r上的偶函式f(x)和奇函式g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ex，則g(x)＝( )．
a．ex－e－xb.(ex＋e－x)
c.(e－x－exd.(ex－e－x)
解析 (直接法)由f(x)＋g(x)＝ex，可得f(－x)＋g(－x)＝e－x，又f(x)為偶函式，g(x)為奇函式，可得f(x)－g(x)＝e－x，則兩式相減可得g(x)＝.
答案 d
【點評】本題採用直接法，所謂直接法，就是直接從題設的條件出發，運用有關的概念、定義、性質、定理、法則和公式等知識，通過嚴密的推理與計算來得出題目的結論，然後再對照題目所給的四個選項來「對號入座」.其基本策略是由因導果，直接求解.
4．(★)(2011·遼寧)若函式f(x)＝為奇函式，
則a＝( )．
abcd．1
解析 (特例法)∵f(x)＝是奇函式，
∴f(－1)＝－f(1)，
∴＝－，
∴a＋1＝3(1－a)，解得a＝.
答案 a
【點評】本題採用特例法，可簡化運算，當然也可用奇函式的定義進行解題，不過過程較為繁瑣，若運算能力較弱容易出錯.
5．(2012·貴陽調研)已知定義在r上的偶函式f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，則f(9)的值為( )．
a．－1b．0c．1d．2
解析 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是週期為4的函式．∴f(9)＝f(2×4＋1)＝f(1)．
∵f(x＋2)＝－f(x)，令x＝－1，
得f(1)＝－f(－1)＝－f(1)，
∴f(1)＝0，∴f(9)＝0.
答案 b
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．若f(x)＝＋a是奇函式，則a
解析 f(－x)＝＋a＝＋a，f(－x)＝－f(x)＋a＝－2a＝－＝1，故a＝.
答案 7．(2011·廣東)設函式f(x)＝x3cos x＋1.若f(a)＝11，則f(－a
解析 ∵f(a)＝a3cos a＋1＝11，∴a3cos a＝10，
∴f(－a)＝(－a)3cos(－a)＋1
＝－a3cos a＋1
＝－10＋1＝－9.
答案 －9
8．(2011·湖南)已知f(x)為奇函式，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，則f(2
解析由g(x)＝f(x)＋9，得g(－2)＝f(－2)＋9，
∴f(－2)＝－6，又f(－2)＝－f(2)，∴f(2)＝6.
答案 6
三、解答題(共23分)
9．(11分)已知f(x)是奇函式，且當x＞0時，f(x)＝x|x－2|，求x＜0時，f(x)的表示式．
解設x＜0，則－x＞0，所以滿足表示式f(x)＝x|x－2|.
∴f(－x)＝(－x)|(－x)－2|＝－x|x＋2|.
又∵f(x)為奇函式，∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(－x)＝x|x＋2|，
故當x＜0時，f(x)＝x|x＋2|.
10．(12分)奇函式f(x)在定義域(－1,1)上是減函式，且f(1＋a)＋f(1－a2)＜0，求實數a的取值範圍．
解 ∵f(x)為奇函式，∴f(1＋a)＜－f(1－a2)＝f(a2－1)，
∵f(x)的定義域為(－1,1)，且是減函式，
∴解得－1＜a＜0，
∴實數a的取值範圍是(－1,0)．
b級(時間：30分鐘滿分：40分)
一、選擇題(每小題5分，共10分)
1．(2011·銀川四校聯考)若函式f(x)是定義在r上的偶函式，在(－∞，0]上是減函式，且f(2)＝0，則使得f(x)＜0的x的取值範圍是( )．
a．(－∞，2b．(－2,2)
c．(－∞，－2)∪(2d．(2，＋∞)
解析 ∵f(x)是定義在r上的偶函式，在(－∞，0]上是減函式，∴f(x)在(0，＋∞)上為增函式，由f(x)＜f(2)，得f(|x|)＜f(2)，∴|x|＜2，∴－2＜x＜2.
答案 b
2．(2011·皖南八校第二次聯考)已知函式f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函式，若對於x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,2)時，f(x)＝log2(x＋1)，則f(－2 010)＋f(2 011)的值為( )．
a．－2b．－1c．2d．1
解析 f(－2 010)＋f(2 011)＝f(2 010)＋f(2 011)
＝f(0)＋f(1)＝log21＋log22＝1.
答案 d
二、填空題(每小題4分，共8分)
3．設函式f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈r)是偶函式，則實數a的值為________．
解析因為f(x)是偶函式，所以恒有f(－x)＝f(x)，
即－x(e－x＋aex)＝x(ex＋ae－x)，化簡得x(e－x＋ex)(a＋1)＝0.因為上式對任意實數x都成立，所以a＝－1.
答案 －1
4．(2012·宿遷模擬)定義在r上的偶函式f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函式，給出下列關於f(x)的判斷：
①f(x)是週期函式；
②f(x)關於直線x＝1對稱；
③f(x)在[0,1]上是增函式；
④f(x)在[1,2]上是減函式；
⑤f(2)＝f(0)．
其中正確的序號是________．
解析 ∵f(x＋1)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(x＋1)＝f(x＋1＋1)＝f(x＋2)，
∴f(x)是週期為2的函式，①正確．
又∵f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，∴f(x)＝f(2－x)，
∴y＝f(x)的圖象關於x＝1對稱，②正確．
又∵f(x)為偶函式且在[－1,0]上是增函式，
∴f(x)在[0,1]上是減函式．又∵對稱軸為x＝1，
∴f(x)在[1,2]上為增函式，f(2)＝f(0)，故③④錯誤，⑤正確．
答案 ①②⑤
三、解答題(共22分)
5．(10分)已知f(x)是定義在[－1,1]上的奇函式，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0時，有＞0.判斷函式f(x)在[－1,1]上是增函式還是減函式，並證明你的結論．
解 f(x)在[－1,1]上是增函式，證明如下：
任取x1，x2∈[－1,1]，且x1＜x2，
則－x2∈[－1,1]．又f(x)是奇函式，
則f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)
＝·(x1－x2)．
據已知＞0，x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)在[－1,1]上是增函式．
6．(12分)已知函式f(x)，當x，y∈r時，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求證：f(x)是奇函式；
(2)如果x＞0，f(x)＜0，並且f(1)＝－，試求f(x)在區間[－2,6]上的最值．
(1)證明函式定義域為r，
∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，f(0)＝0.
∴f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，f(x)為奇函式．
(2)解設x1，x2∈r，且x1＜x2.
f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，∴f(x2－x1)＜0，
∴f(x2)＜f(x1)，∴函式f(x)為減函式，
∴f(x)在[－2,6]上的最大值為f(－2)，最小值為f(6)．
∵f(－1)＝－f(1)＝，
∴f(－2)＝f((－1)＋(－1))＝f(－1)＋f(－1)＝1，f(6)＝6f(1)＝－3，
∴函式f(x)在[－2,6]上的最大值為1，最小值為－3.
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