向量的知識點與高考應用及題型融合
一,向量重要結論、及基礎知識點公式總結
（1）、向量的數量積定義： 規定，
（2）、向量夾角公式：與的夾角為，則
（3）、向量共線的充要條件：與非零向量共線存在惟一的，使。
（4）、兩向量平行的充要條件：向量,平行
（5）、兩向量垂直的充要條件：向量
（6）、向量不等式：，
（7）、向量的座標運算：向量,，則
（8）、向量的投影：︱︱cos=∈r，稱為向量在方向上的投影投影的絕對值稱為射影
（9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小。相等向量：長度相等且方向相同的向量。
（10）、零向量：長度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量＝｜｜＝0 由於的方向是任意的，且規定平行於任何向量，故在有關向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有「非零向量」這個條件．（注意與0的區別）
（11）、單位向量：模為1個單位長度的向量向量為單位向量｜｜＝1
（12）、平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作∥由於向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量
注：解析幾何與向量綜合時可能出現的向量內容：
（1） 給出直線的方向向量或，要會求出直線的斜率；
（2）給出與相交,等於已知過的中點;
（3）給出,等於已知是的中點;
（4）給出,等於已知與的中點三點共線;
（5）給出以下情形之一：①；②存在實數；③若存在實數,等於已知三點共線.
（6） 給出，等於已知是的定比分點，為定比，即
（7） 給出,等於已知,即是直角,給出,等於已知是鈍角, 給出,等於已知是銳角。
（8）給出,等於已知是的平分線/
（9）在平行四邊形中，給出，等於已知是菱形;
（10） 在平行四邊形中，給出，等於已知是矩形;
（11）在中，給出，等於已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）；
（12） 在中，給出，等於已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）；
（13）在中，給出，等於已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）；
（14）在中，給出等於已知通過的內心；
（15）在中，給出等於已知是的內心（三角形內切圓的圓心，三角形的內心是三角形三條角平分線的交點）；
（16） 在中，給出,等於已知是中邊的中線。
（17）如果是乙個平面內的兩個不共線向量，那麼對這一平面內的任一向量，有且只有一對實數使：，其中不共線的向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底
（18）向量平行與直線平行有區別，直線平行不包括共線（即重合），而向量平行則包括共線（重合）的情況
（19）向量的座標與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關
（20）1.結合律不成立：；
2.消去律不成立不能得到
3. =0不能得到=或=
1、 向量與三角函式的結合
向量與三角函式結合，題目新穎而精巧，既符合在知識的「交匯處」構題，又加強了對雙基的考查
1.（江西18）．已知向量
.是否存在實數若存在，則求出x的值；若不存在，則證明之.
解：2．已知向量和，且求的值.
分析：考查知識點：（三角和向量相結合）
解: =
==由已知,得又
3.（2009上海卷文）（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分 .
已知δabc的角a、b、c所對的邊分別是a、b、c，設向量，
， .（1） 若//，求證：δabc為等腰三角形；
（2） 若⊥，邊長c = 2，角c =，求δabc的面積 .
證明：（1）
即，其中r是三角形abc外接圓半徑， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
為等腰三角形
解（2）由題意可知
由餘弦定理可知
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2、 與函式的結合
向量與函式的結合，是以向量為載體來考查函式，所以本質上仍然是函式題
4.已知集合m=,n=.定義函式
若三角形abc的外接圓圓心為d,且則滿足條件的函式f(x)有（ ）
a 6個 b 10個 c 12個 d 16個
5.（湖北理17）．已知向量在區間（－1，1）上是增函式，求t的取值範圍.
分析：本小題主要考查平面向量數量積的計算方法、利用導數研究函式的單調性，以及運用基本函式的性質分析和解決問題的能力。
解法1：依定義
開口向上的拋物線，故要使在區間（－1，1）上恆成立
.解法2：依定義
的圖象是開口向下的拋物線，
3、 與解析幾何的結合
平面向量與解析幾何結合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理，目標是將幾何問題座標化、符號化、數量化，從而將推理轉化為運算
6．已知雙曲線的焦點為f1、f2，點m在雙曲線上且則點m到x軸的距離為（c）
（abc） （d）
7．已知兩點m（－2，0）、n（2，0），點p為座標平面內的動點，滿足，則動點p（x，y）的軌跡方程為（ b ）
（a） （b） （c） （d）
8.已知點a(-2,0),b(3,0),動點p(x,y)滿足，則點p的軌跡是（d）
a.圓b.橢圓c.雙曲線d.拋物線
[點評]此題考查軌跡方程和向量的基本運算等知識，屬於較簡單的題.
9.（2009全國卷ⅰ理）已知橢圓的右焦點為,右準線為，點，線段交於點，若,則=
(a). (b). 2 (c). (d). 3
解:過點b作於m,並設右準線與x軸的交點為n，易知fn=1.由題意,故.又由橢圓的第二定義,得.故選a
10.（2009浙江理）過雙曲線的右頂點作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為．若，則雙曲線的離心率是 ( ) w.w.
w.k.s.
5.u.c.
o.mabcd．
答案：c
【解析】對於，則直線方程為，直線與兩漸近線的交點為b，c，，
則有，因．
11.（2009浙江文）已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點在橢圓上，且軸， 直線交軸於點．若，則橢圓的離心率是（ ）w.w.
w.k.s.
5.u.c.
o.mabcd．
d 【命題意圖】對於對解析幾何中與平面向量結合的考查，既體現了幾何與向量的交匯，也體現了數形結合的巧妙應用．
【解析】對於橢圓，因為，則 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
12.（2009四川卷文）已知雙曲線的左、右焦點分別是、，其一條漸近線方程為，點在雙曲線上.則·＝
a. －12b. －2c. 0d. 4
【答案】c
【考點定位】本小題考查雙曲線的漸近線方程、雙曲線的定義，基礎題。（同文8）
解析：由題知，故，
∴，故選擇c。
解析2：根據雙曲線漸近線方程可求出雙曲線方程，則左、右焦點座標分別為，再將點代入方程可求出，則可得，故選c。
13.（2009全國卷ⅱ理）已知雙曲線的右焦點為,過且斜率為的直線交於兩點，若,則的離心率為w.w.w.k.s.5.u.c.o.
m a． b. c. d.
解：設雙曲線的右準線為,過分別作於,於, ,由直線ab的斜率為,知直線ab的傾斜角為,
由雙曲線的第二定義有.
又故選a
14.（2023年上海卷理）已知、是橢圓（＞＞0）的兩個焦點，為橢圓上一點，且.若的面積為9，則答案】3
【解析】依題意，有，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。
15.已知橢圓(a＞b＞0)上總存在點p,使,其中f1,f2是橢圓的焦點,那麼該橢圓離心率的取值範圍是
[點評]此題借助向量語言給出的垂直關係，重點考查橢圓的幾何性質.
向量與解析解答題
16．已知是x,y軸正方向的單位向量，設=, =,且滿足||+||=4.
(1) 求點p(x,y)的軌跡c的方程.
(2) 如果過點q(0，m)且方向向量為=(1,1) 的直線l與點p的軌跡交於a，b兩點，當aob的面積取到最大值時，求m的值。
解：(1) =, ||=,且||+||=4.
點p(x,y)到點(,0)，(-,0)的距離這和為4，故點p的軌跡方程為
(2)設a(),b()依題意直線ab的方程為y=x+m.代入橢圓方程，得，則+=-m, =
因此，當時，即m=時，
[變式1] 已知是x,y軸正方向的單位向量，設=, =,且滿足|||-|||=2.求點p(x,y)的軌跡c的方程.(軌跡為雙曲線)
[變式2] 已知是x,y軸正方向的單位向量，設=, =,且滿足=||.求點p(x,y)的軌跡c的方程.
[提示：設k(-,0)，f (,0)，則表示在x軸上射影，即點p到x= -的距離，所以點p到定點f的距離與到定直線x= -的距離比為1，故點p的軌跡是以(,0)為焦點以x= -為準線拋物線]
[變式3] 已知是x,y軸正方向的單位向量，設=, =,且滿足=||.求點p(x,y)的軌跡c的方程.
[提示：設k(-,0)，f (,0)，則表示在x軸上射影，即點p到x= -的距離，所以點p到定點f的距離與到定直線x= -的距離比為，當時，點p的軌跡是以(,0)為焦點，以x= -為相應準線的橢圓；當時，點p的軌跡是以(,0)為焦點，以x= -為相應準線的雙曲線的右支；若想得到雙曲線的雙支應滿足什麼條件？]
[變式4] 已知平面上兩定點k、f，p為一動點，滿足， .求點p(x,y)的軌跡c的方程.(以f焦點，過k且垂直於kf的直線為準線的拋物線)
高中數學必修四向量知識點
向量知識點總結 一 向量的概念 1 向量 既有大小，又有方向的量 2 數量 只有大小，沒有方向的量 3 有向線段的三要素 起點 方向 長度 4 零向量 長度為的向量 5 單位向量 長度等於個單位的向量 6 平行向量 共線向量 方向相同或相反的非零向量 零向量與任一向量平行 7 相等向量 長度相等且方...
數學必修四向量知識點
第二章平面向量 1 向量 既有大小，又有方向的量 數量 只有大小，沒有方向的量 有向線段的三要素 起點 方向 長度 零向量 長度為的向量 單位向量 長度等於的向量 平行向量 共線向量 方向相同或相反的非零向量 零向量與任一向量平行 相等向量 2 向量加法運算 三角形法則的特點 首尾相連 平行四邊形法...
高中數學必修四知識點及性質總結
高中數學必修4知識點 第一章三角函式 2 角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角 第一象限角的集合為 第二象限角的集合為 第三象限角的集合為 限角的集合為 終邊在軸上的角的集合為 終邊在軸上的角的集合為 終邊在座標軸上的角的集合為 3 與角終邊相同的角的集...