命題要點：(1)二元一次不等式(組)表示的平面區域(′11年2考，′10年3考)；(2)線性規劃問題(′11年6考，′10年6考).a級(時間：40分鐘滿分：60分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．不等式x－2y＞0表示的平面區域是( )．
解析將點(1,0)代入x－2y得1－2×0＝1＞0.
答案 d
2．(★)(2011·合肥二模)不等式組所表示的平面區域的面積等於
( )．
a. b.
c. d.
解析 (數形結合法)畫圖可知，不等式組所表示的平面區域是乙個三角形，且三個頂點的座標分別是，(0,4)，(1,1)，所以三角形的面積s＝××1＝.
答案 c
【點評】 本題採用數形結合的方法，本講大多數題都要用數形結合法，體現了此法的方便、快捷、實用性.
3．(2011·全國)若變數x、y滿足約束條件則z＝2x＋3y的最小值為( )．
a．17 b．14
c．5 d．3
解析作出可行域(如圖)，當目標函式過點a(1,1)
時取最小值，故zmin＝2×1＋3×1＝5.
答案 c
4．(2011·西安模擬)滿足線性約束條件的目標函式z＝x＋y的最大值是( )．
a．1 b. c．2 d．3
解析由線性約束條件畫出可行域如圖，
a、b、c的座標分別為a，b(1,1)，c，
由圖可知zmax＝1＋1＝2.
答案 c
5．在「家電下鄉」活動中，某廠要將100臺洗衣機運往鄰近的鄉鎮．現有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用．每輛甲型貨車運輸費用400元，可裝洗衣機20臺；每輛乙型貨車運輸費用300元，可裝洗衣機10臺．若每輛車至多只運一次，則該廠所花的最少運輸費用為( )．
a．2 000元 b．2 200元 c．2 400元 d．2 800元
解析設需使用甲型貨車x輛，乙型貨車y輛，運輸費用z元，根據題意，得線性約束條件求線性目標函式z＝400x＋300y的最小值．解得當時zmin＝2 200.
答案 b
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．不等式組所表示的平面區域的整點的個數是________．
答案 9
7．(2012·成都月考)若點p(m,3)到直線4x－3y＋1＝0的距離為4，且點p在不等式2x＋y＜3表示的平面區域內，則m
解析由題意可得解得m＝－3.
答案 －3
8．設x，y滿足約束條件則目標函式z＝3x－y的最大值為________．
解析由約束條件畫出可行域如圖．
當直線3x－y＝0移至直線x＋2y＝4與直線x－y＝1的交點(2,1)時，目標函式z＝3x－y取得最大值等於3×2－1＝5.
答案 5
三、解答題(共23分)
9．(11分)用不等式組表示圖中陰影部分表示的區域．
解先求出四邊形各邊所在的直線方程如下
ab：2x－11y＋17＝0，
bc：2x－y－3＝0，
cd：2x－11y＋67＝0，
da：2x－y＋7＝0.
∴所求不等式組為
10．(12分)畫出2x－3＜y≤3表示的區域，並求出所有正整數解．
解先將所給不等式轉化為
而求正整數解則意味著x，y還有限制條件，
即求的整數解．所給不等式等價於
依照二元一次不等式表示平面區域可得如圖(1)．
對於2x－3＜y≤3的正整數解，再畫出表示的平面區域．
如圖(2)所示：
可知，在該區域內有整數解為(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)共五組．
b級(時間：30分鐘滿分：40分)
一、選擇題(每小題5分，共10分)
1．已知不等式組表示的平面區域為m，若直線y＝kx－3k與平面區域m有公共點，則k的取值範圍是( )．
a. b.
c. d.
解析如圖所示，畫出可行域，直線y＝kx－3k過定
點(3,0)，由數形結合，知該直線的斜率的最大值為k＝0，
最小值為k＝＝－.
答案 a
2．(2011·佛山模擬)若實數x，y滿足不等式組且x＋y的最大值為9，則實數m＝
( )．
a．－2 b．－1 c．1 d．2
解析作出滿足題設條件的可行域如圖所示，設x＋y＝9，
顯然只有在x＋y＝9與直線2x－y－3＝0的交點處滿足要求．
聯立方程組解得
即點a(4,5)在直線x－my＋1＝0上，
∴4－5m＋1＝0，得m＝1.
答案 c
二、填空題(每小題4分，共8分)
3．鐵礦石a和b的含鐵率a，冶煉每萬噸鐵礦石的co2的排放量b及每萬噸鐵礦石的**c如下表：
某冶煉廠至少要生產1.9(萬噸)鐵，若要求co2的排放量不超過2(萬噸)，則購買鐵礦石的最少費用為________百萬元．
解析可設需購買a礦石x萬噸，b礦石y萬噸，則根據題意得到約束條件為：目標函式為z＝3x＋6y，作圖可知當目標函式經過(1,2)點時目標函式取得最小值，最小值為zmin＝3×1＋6×2＝15(百萬元)．
答案 15
4．已知變數x，y滿足約束條件且有無窮多個點(x，y)使目標函式z＝x＋my取得最小值，則m
解析由題意可知，不等式組表示的可行域是
由a(1,3)，b(3,1)，c(5,2)組成的三角形及其內部．
當m＞0時，z＝x＋my與x＋y－4＝0重合時滿足題意，
得m＝1，當m＜0時，z＝x＋my在點a處取得最小值不
合題意，當m＝0時不合題意，綜上，m＝1.
答案 1
三、解答題(共22分)
5．(10分)若a≥0，b≥0，且當時，恒有ax＋by≤1，求以a，b為座標的點p(a，b)所形成的平面區域的面積．
解作出線性約束條件對應的可行域如圖所示，
在此條件下，要使ax＋by≤1恆成立，只要ax＋by的最大
值不超過1即可．
令z＝ax＋by，則y＝－x＋.
因為a≥0，b≥0，則－1＜－≤0時，b≤1，或－≤－1時，
a≤1.
此時對應的可行域如圖，
所以以a，b為座標的點p(a，b)所形成的面積為1.
6．(12分)某營養師要為某個兒童預訂午餐和晚餐．已知乙個單位的午餐含12個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質和6個單位的維生素c；乙個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質和10個單位的維生素c.另外，該兒童這兩餐需要的營養中至少含64個單位的碳水化合物，42個單位的蛋白質和54個單位的維生素c.
如果乙個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那麼要滿足上述的營養要求，並且花費最少，應當為該兒童分別預訂多少個單位的午餐和晚餐？
解設需要預訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個單位和y個單位，所花的費用為z元，則依題意得：z＝2.5x＋4y，且x，y滿足即讓目標函式表示的直線2.
5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在(4,3)處取得最小值．
因此，應當為該兒童預訂4個單位的午餐和3個單位的晚餐，就可滿足要求．
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