命題要點：(1)集合的概念[2023年高考有5省考查(以下簡稱′10年5考)，2023年高考有3省考查(以下簡稱′11年3考)]；(2)集合的運算(′10年10考，′11年12考)；(3)集合間的基本關係(′10年2考，′11年3考)
a級(時間：40分鐘滿分：60分)
一、選擇題(每小題5分，共25分)
1．(2011·北京)已知全集u＝r，集合p＝，那麼up等於( )．
a．(－∞，－1b．(1，＋∞)
c．(－1,1d．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 ∵p＝，
∴up＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
答案 d
2．(2011·遼寧)已知集合a＝，b＝，則a∩b等於( )．
a．c．
解析由a＝，b＝，得a∩b＝
．答案 d
3．(2011·湖南)設全集u＝m∪n＝，m∩un＝，則n＝( )．
a． b． c． d．
解析畫出venn圖，陰影部分為m∩un＝，∴n＝．
答案 b
4．(2011·北京海淀二模)已知全集u＝r，集合a＝，b＝，則圖中陰影部分所表示的集合為( )．
a． b． c． d．
解析因為a∩b＝，而圖中陰影部分為a去掉a∩b，所以陰影部分所表示的集合為．
答案 a
5．(2011·惠州第二次調研)已知集合m＝，n＝，則m∩n等於( )．
a．[1，＋∞) b．[－1，＋∞)
c．[1,2) d．[－1,2)
解析 m＝＝，n＝＝，∴m∩n＝．
答案 a
二、填空題(每小題4分，共12分)
6．(2011·江蘇)已知集合a＝，b＝，則a∩b
解析 a∩b＝∩＝．
答案 7．(2011·上海)若全集u＝r，集合a＝，則ua
解析 ua＝．
答案 8．(2011·南京模擬)已知集合a＝，b＝，則a∩b
解析 a，b都表示點集，a∩b即是由a中在直線x＋y－1＝0上的所有點組成的集合，代入驗證即可．
答案 三、解答題(共23分)
9．(11分)若集合a＝，集合b＝，且a＝b，求實數a，b.
解 ∵a＝b，∴b＝＝．
∴∴a＝－2，b＝－3.
10．(12分)設集合a＝，b＝，若a∩b＝，求a∪b.
解由9∈a，可得x2＝9或2x－1＝9，
解得x＝±3或x＝5.
當x＝3時，a＝，b＝，b中元素重複，故捨去；
當x＝－3時，a＝，b＝，a∩b＝滿足題意，故a∪b＝；
當x＝5時，a＝，b＝，
此時a∩b＝與a∩b＝矛盾，故捨去．
綜上所述，a∪b＝．
b級(時間：30分鐘滿分：40分)
一、選擇題(每小題5分，共10分)
1．(2011·湖北八校聯考(二))若a＝，b＝，則集合b中的元素個數是( )．
a．2 b．3 c．4 d．5
解析 b＝＝．
答案 b
2．(2011·杭州二檢)已知集合a＝(a∈r，i是虛數單位)，若ar，則a＝( )．
a．1 b．－1 c．±1 d．0
解析 ∵ar，∴a中的元素為實數，所以a2－1＝0，即a＝±1.
答案 c
二、填空題(每小題4分，共8分)
3．(★)已知集合a＝，b＝，且a∪b＝r，則實數a的取值範圍是________．
解析 (數形結合法)a＝(－∞，1]，b＝[a，＋∞)，要使a∪b＝r，只需a≤1.如圖：
答案 (－∞，1]
【點評】本題採用數形結合法，含引數的集合運算中求引數的範圍時，常常結合數軸來解決，同時注意「等號」的取捨.
4．設a，b是非空集合，定義a*b＝，已知a＝，b＝，則a*b
解析由題意知：a∪b＝[0，＋∞)，a∩b＝[1,3)，
∴a*b＝[0,1)∪[3，＋∞)．
答案 [0,1)∪[3，＋∞)
三、解答題(共22分)
5．(10分)已知a＝，b＝，a∪b＝，a∩b＝，求實數a，b的值．
解 ∵a∩b＝，∴b＝3，
又a∪b＝，∴－2＜a≤－1，
又a∩b＝，∴－1≤a＜1，∴a＝－1.
6．(★)(12分)設集合a＝，b＝，若ba，求實數a的取值範圍．
思路分析本題體現了分類討論思想，應對集合b中所含元素個數分類討論．
解 ∵a＝，∴ba分以下三種情況：
(1)當b＝a時，b＝，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的兩個根，由根與係數之間的關係，得解得a＝1.
(2)當≠b a時，b＝或b＝，並且δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此時b＝滿足題意．
(3)當b＝時，δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1.
綜上所述，所求實數a的取值範圍是(－∞，－1]∪．
【點評】分類討論思想是一種重要的數學思想方法，是歷年來高考考查的重點，其基本思路是將乙個複雜的數學問題分解或分割成若干個基礎性問題，通過對基礎性問題的解答來實現解決原問題的思想策略.
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