第一部分集合
(1)含n個元素的集合的子集數為2^n,真子集數為2^n-1;非空真子集的數為2^n-2;
(2) 注意:討論的時候不要遺忘了的情況。
(3)第二部分函式與導數
1.對映:注意 ①第乙個集合中的元素必須有象;②一對一,或多對一。
2.函式值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判別式法 ;④利用函式單調性 ;
⑤換元法 ;⑥利用均值不等式 ; ⑦利用數形結合或幾何意義(斜率、距離、絕對值的意義等);⑧利用函式有界性( 、 、 等);⑨導數法
3.復合函式的有關問題
(1)復合函式定義域求法:
① 若f(x)的定義域為〔a,b〕,則復合函式f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出② 若f[g(x)]的定義域為[a,b],求 f(x)的定義域,相當於x∈[a,b]時,求g(x)的值域。
(2)復合函式單調性的判定:
①首先將原函式分解為基本函式:內函式與外函式 ;
②分別研究內、外函式在各自定義域內的單調性;
③根據「同性則增,異性則減」來判斷原函式在其定義域內的單調性。
注意:外函式的定義域是內函式的值域。
4.分段函式:值域(最值)、單調性、圖象等問題,先分段解決,再下結論。
5.函式的奇偶性
⑴函式的定義域關於原點對稱是函式具有奇偶性的必要條件;
⑵ 是奇函式 ;
⑶ 是偶函式 ;
⑷奇函式在原點有定義,則 ;
⑸在關於原點對稱的單調區間內:奇函式有相同的單調性,偶函式有相反的單調性;
(6)若所給函式的解析式較為複雜,應先等價變形,再判斷其奇偶性;
6.函式的單調性
⑴單調性的定義:
① 在區間上是增函式當時有 ;
② 在區間上是減函式當時有 ;
⑵單調性的判定
1 定義法:
注意:一般要將式子化為幾個因式作積或作商的形式,以利於判斷符號;
②導數法(見導數部分);
③復合函式法(見2 (2));
④影象法。
注:證明單調性主要用定義法和導數法。
7.函式的週期性
(1)週期性的定義:
對定義域內的任意 ,若有 (其中為非零常數),則稱函式為週期函式, 為它的乙個週期。
所有正週期中最小的稱為函式的最小正週期。如沒有特別說明,遇到的週期都指最小正週期。
(2)三角函式的週期
④ ;⑤ ;
⑶函式週期的判定
①定義法(試值) ②影象法 ③公式法(利用(2)中結論)
⑷與週期有關的結論
① 或的週期為 ;
② 的圖象關於點中心對稱週期為2 ;
③ 的圖象關於直線軸對稱週期為2 ;
④ 的圖象關於點中心對稱,直線軸對稱週期為4 ;
8.基本初等函式的影象與性質
⑴冪函式: ( ;⑵指數函式: ;
⑶對數函式: ;⑷正弦函式: ;
⑸余弦函式: ;(6)正切函式: ;⑺一元二次函式: ;
⑻其它常用函式:
1 正比例函式: ;②反比例函式: ;特別的
2 函式 ;
9.二次函式:
⑴解析式:
①一般式: ;②頂點式: , 為頂點;
③零點式: 。
⑵二次函式問題解決需考慮的因素:
①開口方向;②對稱軸;③端點值;④與座標軸交點;⑤判別式;⑥兩根符號。
⑶二次函式問題解決方法:①數形結合;②分類討論。
10.函式圖象:
⑴圖象作法 :①描點法 (特別注意三角函式的五點作圖)②圖象變換法③導數法
⑵圖象變換:
1 平移變換:ⅰ ,2 ———「正左負右」
正上負下」;
3 伸縮變換:
ⅰ , ( ———縱座標不變,橫座標伸長為原來的倍;
ⅱ , ( ———橫座標不變,縱座標伸長為原來的倍;
4 對稱變換
5 翻轉變換:
ⅰ ———右不動,右向左翻( 在左側圖象去掉);
ⅱ ———上不動,下向上翻(| |在下面無圖象);
11.函式圖象(曲線)對稱性的證明
(1)證明函式影象的對稱性,即證明影象上任意點關於對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在影象上;
(2)證明函式與圖象的對稱性,即證明圖象上任意點關於對稱中心(對稱軸)的對稱點在的圖象上,反之亦然;
注:①曲線c1:f(x,y)=0關於點(a,b)的對稱曲線c2方程為:f(2a-x,2b-y)=0;
②曲線c1:f(x,y)=0關於直線x=a的對稱曲線c2方程為:f(2a-x, y)=0;
③曲線c1:f(x,y)=0,關於y=x+a(或y=-x+a)的對稱曲線c2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
④f(a+x)=f(b-x) (x∈r) y=f(x)影象關於直線x= 對稱;
特別地:f(a+x)=f(a-x) (x∈r) y=f(x)影象關於直線x=a對稱;
⑤函式y=f(x-a)與y=f(b-x)的影象關於直線x= 對稱;
12.函式零點的求法:
⑴直接法(求的根);⑵圖象法;⑶二分法.
13.導數
⑴導數定義:f(x)在點x0處的導數記作 ;
⑵常見函式的導數公式
⑧ 。
⑶導數的四則運算法則:
⑷(理科)復合函式的導數:
⑸導數的應用
①利用導數求切線:注意:ⅰ所給點是切點嗎?ⅱ所求的是「在」還是「過」該點的切線?
②利用導數判斷函式單調性:
ⅰ 是增函式;ⅱ 為減函式;
ⅲ 為常數;
③利用導數求極值:ⅰ求導數 ;ⅱ求方程的根;ⅲ列表得極值。
④利用導數最大值與最小值:ⅰ求的極值;ⅱ求區間端點值(如果有);ⅲ得最值。
14.(理科)定積分
⑴定積分的定義:
⑵定積分的性質:① ( 常數);
② ;③ (其中 。
⑶微積分基本定理(牛頓—萊布尼茲公式):
⑷定積分的應用:①求曲邊梯形的面積: ;
3 求變速直線運動的路程: ;③求變力做功: 。
第三部分三角函式、三角恒等變換與解三角形
1.⑴角度制與弧度制的互化: 弧度 , 弧度, 弧度
⑵弧長公式: ;扇形面積公式: 。
2.三角函式定義:角中邊上任意一點為 ,設則:
3.三角函式符號規律:一全正,二正弦,三兩切,四余弦;
4.誘導公式記憶規律:「函式名不(改)變,符號看象限」;
5.⑴ 對稱軸: ;對稱中心: ;
⑵ 對稱軸: ;對稱中心: ;
6.同角三角函式的基本關係: ;
7.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式:①
② ③ 。
8.二倍角公式:① ;
② ;③ 。
9.正、餘弦定理:
⑴正弦定理: ( 是外接圓直徑 )
注⑵餘弦定理: 等三個;注: 等三個。
10。幾個公式:
⑴三角形面積公式: ;
⑵內切圓半徑r= ;外接圓直徑2r=
11.已知時三角形解的個數的判定:
第四部分立體幾何
1.三檢視與直觀圖:注:原圖形與直觀圖面積之比為 。
2.表(側)面積與體積公式:
⑴柱體:①表面積:s=s側+2s底;②側面積:s側= ;③體積:v=s底h
⑵錐體:①表面積:s=s側+s底;②側面積:s側= ;③體積:v= s底h:
⑶台體:①表面積:s=s側+s上底s下底;②側面積:s側= ;③體積:v= (s+ )h;
⑷球體:①表面積:s= ;②體積:v= 。
3.位置關係的證明(主要方法):
⑴直線與直線平行:①公理4;②線面平行的性質定理;③面面平行的性質定理。
⑵直線與平面平行:①線面平行的判定定理;②面面平行線面平行。
⑶平面與平面平行:①面面平行的判定定理及推論;②垂直於同一直線的兩平面平行。
⑷直線與平面垂直:①直線與平面垂直的判定定理;②面面垂直的性質定理。
⑸平面與平面垂直:①定義---兩平面所成二面角為直角;②面面垂直的判定定理。
注:理科還可用向量法。
4.求角:(步驟-------ⅰ。找或作角;ⅱ。求角)
⑴異面直線所成角的求法:
1 平移法:平移直線,2 構造三角形;
3 ②補形法:補成正方體、平行六面體、長方體等,4 發現兩條異面直線間的關係。
注:理科還可用向量法,轉化為兩直線方向向量的夾角。
⑵直線與平面所成的角:
①直接法(利用線面角定義);②先求斜線上的點到平面距離h,與斜線段長度作比,得sin 。
注:理科還可用向量法,轉化為直線的方向向量與平面法向量的夾角。
⑶二面角的求法:
①定義法:在二面角的稜上取一點(特殊點),作出平面角,再求解;
②三垂線法:由乙個半面內一點作(或找)到另乙個半平面的垂線,用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角,再求解;
③射影法:利用面積射影公式: ,其中為平面角的大小;
注:對於沒有給出稜的二面角,應先作出稜,然後再選用上述方法;
理科還可用向量法,轉化為兩個班平面法向量的夾角。
5.求距離:(步驟-------ⅰ。找或作垂線段;ⅱ。求距離)
⑴兩異面直線間的距離:一般先作出公垂線段,再進行計算;
⑵點到直線的距離:一般用三垂線定理作出垂線段,再求解;
⑶點到平面的距離:
①垂面法:借助面面垂直的性質作垂線段(確定已知面的垂面是關鍵),再求解;
5 等體積法;
理科還可用向量法: 。
⑷球面距離:(步驟)
(ⅰ)求線段ab的長;(ⅱ)求球心角∠aob的弧度數;(ⅲ)求劣弧ab的長。
6.結論:
⑴從一點o出發的三條射線oa、ob、oc,若∠aob=∠aoc,則點a在平面∠boc上的射影在∠boc的平分線上;
⑵立平斜公式(最小角定理公式):
⑶正稜錐的各側面與底面所成的角相等,記為 ,則s側cos =s底;
⑷長方體的性質
①長方體體對角線與過同一頂點的三條稜所成的角分別為則:cos2 +cos2 +cos2 =1;sin2 +sin2 +sin2 =2 。
②長方體體對角線與過同一頂點的三側面所成的角分別為則有cos2 +cos2 +cos2 =2;sin2 +sin2 +sin2 =1 。
⑸正四面體的性質:設稜長為 ,則正四面體的:
1 高: ;②對稜間距離: ;③相鄰兩面所成角余弦值: ;④內切2 球半徑: ;外接球半徑: ;
高考數學基礎知識彙總
第一部分集合 1 含n個元素的集合的子集數為2 n,真子集數為2 n 1 非空真子集的數為2 n 2 2 注意 討論的時候不要遺忘了的情況。3 第二部分函式與導數 1 對映 注意 第乙個集合中的元素必須有象 一對一,或多對一。2 函式值域的求法 分析法 配方法 判別式法 利用函式單調性 換元法 利用...
高考數學基礎知識總結
高中數學第一章 集合 考試內容 集合 子集 補集 交集 並集 邏輯聯結詞 四種命題 充分條件和必要條件 考試要求 1 理解集合 子集 補集 交集 並集的概念 了解空集和全集的意義 了解屬於 包含 相等關係的意義 掌握有關的術語和符號,並會用它們正確表示一些簡單的集合 2 理解邏輯聯結詞 或 且 非 ...
小學數學基礎知識部分彙總
第一章數和數的運算 一 概念 一 整數 1 整數的意義 自然數和0都是整數。2 自然數 我們在數物體的時候,用來表示物體個數的1,2,3 叫做自然數。乙個物體也沒有,用0表示。0也是自然數。3 計數單位 一 個 十 百 千 萬 十萬 百萬 千萬 億 都是計數單位。每相鄰兩個計數單位之間的進率都是10...